Вопрос школьника
Возьми любое трехзначное число и припиши к нему такое же число. Получится шестизначное число. Раздели его на 7. Что получится, раздели на 11. Что получится, раздели на 13. У тебя получится то трехзначное число, с которого ты начал. Почему?
Ответ от учителя
Пусть выбранное трехзначное число — это abc, где a, b и c — цифры числа. Тогда приписав к нему такое же число, получим число abcabc, которое можно представить как 1000abc + abc = 1001abc.
Разделим 1001abc на 7. Для этого можно воспользоваться правилом делимости на 7, которое гласит, что число делится на 7, если разность между удвоенной последней цифрой и числом, образованным из оставшихся цифр, также делится на 7.
Применяя это правило, получим: 1001abc = 143*7*2*abc. Значит, число 1001abc делится на 7, и результатом будет число 143*2*abc.
Разделим полученное число на 11. Для этого можно воспользоваться правилом делимости на 11, которое гласит, что число делится на 11, если разность между суммой цифр на четных позициях и суммой цифр на нечетных позициях также делится на 11.
Применяя это правило, получим: 286*abc. Значит, число 143*2*abc делится на 11, и результатом будет число 286*abc.
Разделим полученное число на 13. Для этого можно воспользоваться правилом делимости на 13, которое гласит, что число делится на 13, если разность между числом, образованным из оставшихся цифр, и утроенной последней цифрой также делится на 13.
Применяя это правило, получим: 22*abc. Значит, число 286*abc делится на 13, и результатом будет число 22*abc.
Таким образом, мы получили исходное трехзначное число abc. Это происходит потому, что число 1001 является произведением трех простых чисел: 7, 11 и 13, и любое число, которое делится на эти три числа, также делится на 1001. Поэтому при делении числа 1001abc на 7, 11 и 13 мы получаем исходное трехзначное число abc.
