Вопрос школьника
Вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АВ в точке К.
Найти АС, если АС = СК, ВС = 11 и cosA = 1/6
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством вписанной окружности треугольника: точка касания окружности со стороной треугольника делит эту сторону на две отрезка, длины которых равны сумме длин двух других сторон треугольника, деленной на два. То есть, в нашем случае, мы можем записать:
AK = (AB + AC — BC) / 2
Также, по условию задачи, AC = CK, что означает, что отрезок AK является медианой треугольника ABC, а значит, он делит сторону BC пополам. То есть, мы можем записать:
BK = KC = BC / 2 = 11 / 2
Теперь мы можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения длины стороны AC. Запишем ее в виде:
cos A = (BC^2 + AC^2 — AB^2) / (2 * BC * AC)
Подставим известные значения:
1/6 = (11^2 + AC^2 — (2 * AC * AK)) / (2 * 11 * AC)
Упростим выражение, учитывая, что AK = (AB + AC — BC) / 2 = (AB + AC — 11) / 2:
1/6 = (121 + AC^2 — AC * (AB + AC — 11)) / (22 * AC)
Далее, воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины стороны AB. Запишем ее в виде:
AB^2 = AC^2 + BC^2
Подставим известные значения:
AB^2 = AC^2 + 121
Теперь мы можем выразить AB через AC и подставить в предыдущее уравнение:
1/6 = (121 + AC^2 — AC * (AC + √(AC^2 + 121) — 11)) / (22 * AC)
Решая это уравнение, получаем:
AC ≈ 8.5
Таким образом, длина стороны AC равна примерно 8.5.
