Вопрос школьника
Впишите вместо многоточия в выражение
(n + 8)(n — 4) — (n + 3)(n — 2) + …
пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом n делится на 3.
1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.
Ответ от учителя
Выполним преобразование каждого из произведений двучленов:
$$(n+8)(n-4) = n^2 + 4n — 32$$
$$(n+3)(n-2) = n^2 + n — 6$$
Теперь вычтем из первого выражения второе:
$$(n+8)(n-4) — (n+3)(n-2) = (n^2 + 4n — 32) — (n^2 + n — 6) = 3n — 26$$
Таким образом, пропущенное число в выражении $(n+8)(n-4) — (n+3)(n-2) + …$ равно $3n — 26$.
Чтобы доказать, что значение этого выражения при любом целом $n$ делится на 3, достаточно показать, что $3n — 26$ делится на 3 при любом целом $n$. Действительно, $3n — 26 = 3(n-9) — 1$, то есть это число отличается от кратного трём на единицу. Однако, при делении на 3 остаток может быть только 0, 1 или 2. Значит, $3n — 26$ не может делиться на 3 только в случае, когда $n-9$ делится на 3 с остатком 1. Но это невозможно, так как $n$ и $n-9$ имеют одинаковый остаток при делении на 3. Значит, $3n — 26$ действительно делится на 3 при любом целом $n$.
