Вопрос школьника
Время изготовления детали — равномерно распределенная случайная величина на отрезке [4; 8] мин. Изготовлено пять деталей. Какова вероятность того, что время изготовления каждой из пяти деталей отклоняется от среднего не более чем на 0,5 мин.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо найти среднее время изготовления одной детали и стандартное отклонение.
Среднее время изготовления одной детали равно среднему значению на отрезке [4; 8], то есть (4+8)/2 = 6 минут.
Стандартное отклонение можно найти по формуле:
σ = √((b-a)^2/12),
где a и b — концы отрезка, на котором равномерно распределена случайная величина.
В нашем случае a=4, b=8, поэтому
σ = √((8-4)^2/12) ≈ 1,15 минут.
Так как время изготовления каждой детали является независимой случайной величиной, то можно использовать нормальное распределение для нахождения вероятности того, что время изготовления каждой детали отклоняется от среднего не более чем на 0,5 минуты.
Для этого необходимо найти вероятность того, что отклонение каждой детали будет меньше или равно 0,5 минуты.
Для одной детали вероятность такого события можно найти по формуле:
P(|X-μ| ≤ 0,5) = Φ((0,5-0)/σ) — Φ((-0,5-0)/σ),
где X — время изготовления одной детали, μ — среднее время изготовления, σ — стандартное отклонение, Φ — функция распределения стандартного нормального распределения.
Подставляя значения, получаем:
P(|X-6| ≤ 0,5) = Φ(0,43) — Φ(-0,43) ≈ 0,332.
Таким образом, вероятность того, что время изготовления каждой из пяти деталей отклоняется от среднего не более чем на 0,5 минуты, равна произведению вероятностей для каждой детали:
P = 0,332^5 ≈ 0,005.
Ответ: вероятность того, что время изготовления каждой из пяти деталей отклоняется от среднего не более чем на 0,5 минуты, составляет примерно 0,5%.
