Вопрос школьника
Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О — прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим плоский угол между двумя гранями тетраэдра, проходящими через вершину О. По условию, этот угол является прямым, то есть его мера равна 90 градусам. Обозначим этот угол через α.
Так как угол α является прямым, то его смежные углы (углы между этой гранью и каждой из двух других граней, проходящих через вершину О) также являются прямыми. Обозначим эти углы через β и γ.
Теперь рассмотрим треугольник ABC, который является основанием тетраэдра. Пусть его стороны имеют длины a, b и c, а его площадь равна S.
Так как угол β является прямым, то треугольник ABO является прямоугольным, и мы можем применить теорему Пифагора:
AB² = AO² + OB²
Аналогично, так как угол γ является прямым, треугольник ACO также является прямоугольным, и мы можем записать:
AC² = AO² + OC²
Таким образом, мы получили два уравнения, связывающих длины сторон треугольника ABC и расстояния от вершины О до его сторон. Осталось выразить площадь треугольника через эти величины.
Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника через длины его сторон:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
где p = (a+b+c)/2 — полупериметр треугольника.
Подставляя в эту формулу выражения для длин сторон и упрощая, мы получаем:
S = 1/4 √[(a²+b²-c²)(a²+c²-b²)(b²+c²-a²)]
Теперь мы можем выразить квадрат площади треугольника ABC через квадраты длин его сторон:
S² = 1/16 [(a²+b²-c²)(a²+c²-b²)(b²+c²-a²)]
Осталось выразить квадраты площадей остальных граней через длины сторон треугольника ABC. Для этого заметим, что каждая из остальных граней является прямоугольным треугольником, у которого катеты равны длинам ребер, выходящих из вершины О. Таким образом, площадь каждой из этих граней равна:
S₁ = 1/2 |OA × OB|
S₂ = 1/2 |OA × OC|
S₃ = 1/2 |OB × OC|
где × обозначает векторное произведение.
Выражая векторные произведения через координаты векторов и упрощая, мы можем записать:
S₁ = 1/2 |ab sin γ|
S₂ = 1/2 |ac sin β|
S₃ = 1/2 |bc sin α|
где a, b и c — длины ребер, выходящих из вершины О, а α, β и γ — углы между этими ребрами и сторонами треугольника ABC.
Теперь мы можем выразить квадраты площадей остальных граней через квадраты длин ребер, выходящих из вершины О:
S₁² = 1/4 a²b² sin² γ
S₂² = 1/4 a²c² sin² β
S₃² = 1/4 b²c² sin² α
Осталось сложить эти выражения и упростить:
S₁² + S₂² + S₃² = 1/4 (a²b² sin² γ + a²c² sin² β + b²c² sin² α)
Теперь мы можем применить теорему Пифагора для трех прямоугольных треугольников, образованных плоскими углами тетраэдра при вершине О:
sin² α = sin² β + sin² γ
sin² β = sin² α + sin² γ
sin² γ = sin² α + sin² β
Подставляя эти выражения в предыдущее уравнение, мы получаем:
S₁² + S₂² + S₃² = 1/4 (a²b² + a²c² + b²c² — a²b² sin² α — a²c² sin² β — b²c² sin² γ)
Теперь осталось заметить, что выражение в скобках равно (a²+b²-c²)(a²+c²-b²)(b²+c²-a²), что мы уже вывели ранее. Таким образом, мы доказали, что:
S² = S₁² + S₂² + S₃²
что и требовалось доказать.
