Вопрос школьника
Вычислите наибольшее значение объёма тетраэдра, у которого:
а) пять рёбер равны 1;
б) четыре ребра равны 1.
Ответ от учителя
а) Для того чтобы найти наибольший объем тетраэдра, у которого пять ребер равны 1, нужно использовать формулу для объема тетраэдра:
V = (1/3) * S * h,
где S — площадь основания тетраэдра, h — высота тетраэдра, опущенная на основание.
Поскольку у нас пять ребер равны 1, то мы можем построить правильный тетраэдр, у которого все ребра равны 1. В таком тетраэдре площадь основания будет равна:
S = (sqrt(3) / 4) * a^2,
где a — длина ребра. Подставляя a = 1, получаем:
S = (sqrt(3) / 4).
Высота тетраэдра, опущенная на основание, равна:
h = (sqrt(2) / 3) * a,
где a — длина ребра. Подставляя a = 1, получаем:
h = (sqrt(2) / 3).
Теперь можем вычислить объем тетраэдра:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * (sqrt(3) / 4) * (sqrt(2) / 3) = sqrt(2) / 36.
Ответ: наибольшее значение объема тетраэдра, у которого пять ребер равны 1, равно sqrt(2) / 36.
б) Для того чтобы найти наибольший объем тетраэдра, у которого четыре ребра равны 1, нужно использовать формулу для объема тетраэдра:
V = (1/3) * S * h,
где S — площадь основания тетраэдра, h — высота тетраэдра, опущенная на основание.
Поскольку у нас четыре ребра равны 1, то мы можем построить тетраэдр, у которого одно ребро равно 1, а остальные три ребра равны x. Такой тетраэдр будет правильным, если x = sqrt(2).
Площадь основания тетраэдра будет равна:
S = (sqrt(3) / 4) * a^2,
где a — длина ребра. Подставляя a = sqrt(2), получаем:
S = (sqrt(3) / 2).
Высота тетраэдра, опущенная на основание, равна:
h = (sqrt(2) / 3) * a,
где a — длина ребра. Подставляя a = sqrt(2), получаем:
h = 2 / 3.
Теперь можем вычислить объем тетраэдра:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * (sqrt(3) / 2) * (2 / 3) = sqrt(3) / 9.
Ответ: наибольшее значение объема тетраэдра, у которого четыре ребра равны 1, равно sqrt(3) / 9.
