Вопрос школьника
Вычислите объём прямой треугольной призмы, если её боковое ребро равно большей из сторон основания и:
а) две стороны основания равны 1, а угол между ними равен 120°;
б) стороны основания 5, 6, 7;
в) сторона основания равна 1, а углы при ней равны 45° и 60°.
Ответ от учителя
а) Для начала найдем длину гипотенузы основания прямой треугольной призмы. Используя теорему косинусов, получим:
$c^2 = a^2 + b^2 — 2abcosgamma$
где $a$ и $b$ — стороны основания, $gamma$ — угол между ними. Подставляя известные значения, получим:
$c^2 = 1^2 + 1^2 — 2cdot 1cdot 1cdot cos 120^circ = 3$
$c = sqrt{3}$
Теперь можем найти высоту призмы, которая равна большей из сторон основания:
$h = sqrt{3}$
И, наконец, объем прямой треугольной призмы равен:
$V = frac{1}{2}abh = frac{1}{2}cdot 1cdot 1cdot sqrt{3} = frac{sqrt{3}}{2}$
б) Для нахождения объема прямой треугольной призмы с основанием 5, 6, 7, нужно найти высоту призмы. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника Герона:
$p = frac{a+b+c}{2}$
$h = frac{2}{a}sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
где $p$ — полупериметр треугольника, $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника. Подставляя известные значения, получим:
$p = frac{5+6+7}{2} = 9$
$h = frac{2}{5}sqrt{9cdot 4cdot 3cdot 2} = 12$
Теперь можем найти объем прямой треугольной призмы:
$V = frac{1}{2}abh = frac{1}{2}cdot 5cdot 6cdot 12 = 180$
в) Для нахождения объема прямой треугольной призмы с основанием 1 и углами при ней 45° и 60°, нужно найти высоту призмы. Обозначим через $x$ длину бокового ребра призмы. Тогда, применяя теорему синусов к треугольнику, образованному боковым ребром, высотой и половиной основания, получим:
$frac{x}{sin 45^circ} = frac{h}{sin 60^circ}$
$h = frac{xsqrt{3}}{2}$
Теперь, применяя теорему Пифагора к треугольнику, образованному боковым ребром, высотой и половиной основания, получим:
$x^2 = left(frac{1}{2}right)^2 + h^2$
$x^2 = frac{1}{4} + frac{3}{4}x^2$
$frac{1}{4} = frac{1}{4}x^2$
$x = 1$
Таким образом, боковое ребро равно 1, а высота равна $frac{sqrt{3}}{2}$. И, наконец, объем прямой треугольной призмы равен:
$V = frac{1}{2}abh = frac{1}{2}cdot 1cdot 1cdot frac{sqrt{3}}{2} = frac{sqrt{3}}{4}$
