Вопрос школьника
Вычислите периметр равнобедренного треугольника ABC, длина основания АС которого равна 10 см, а внутренний угол при вершине основания треугольника в два раза меньше внешнего угла при этой вершине.
Ответ от учителя
Для начала найдем величину внешнего угла при вершине основания треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то угол при вершине равен углу напротив основания, то есть углу ВСА. Так как треугольник равнобедренный, то угол ВСА равен углу ВАС, то есть внутреннему углу при вершине основания. Пусть этот угол равен x градусов. Тогда внешний угол при вершине основания равен 2x градусов.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому угол ВАС равен (180 — 2x) / 2 = 90 — x градусов.
Так как треугольник равнобедренный, то высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой. Поэтому угол между высотой и основанием равен половине угла ВАС, то есть (90 — x) / 2 градусов.
Таким образом, мы знаем все углы треугольника и можем найти длину боковой стороны. Для этого воспользуемся теоремой синусов:
AC / sin(2x) = AB / sin((90 — x) / 2)
AB = AC * sin((90 — x) / 2) / sin(2x)
AB = 10 * sin(45 — x / 2) / cos(x)
AB = 10 * (sin(45)cos(x/2) — cos(45)sin(x/2)) / cos(x)
AB = 10 * (sqrt(2)/2 * cos(x/2) — sqrt(2)/2 * sin(x/2)) / cos(x)
AB = 10 * sqrt(2) * (cos(x/2) — sin(x/2)) / cos(x)
Теперь можем найти периметр треугольника:
P = AB + AC + BC
P = 10 * sqrt(2) * (cos(x/2) — sin(x/2)) / cos(x) + 10 + 10 * sqrt(2) * (cos(x/2) — sin(x/2)) / cos(x)
P = 20 * sqrt(2) * (cos(x/2) — sin(x/2)) / cos(x) + 10
Таким образом, периметр равнобедренного треугольника ABC равен 20 * sqrt(2) * (cos(x/2) — sin(x/2)) / cos(x) + 10 см.
