Вопрос школьника
Вычислите площадь прямоугольной трапеции, если центр вписанной в нее окружности, находится на расстоянии 1 см и 2 см от концов боковой стороны.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы для площади трапеции:
S = (a + b) * h / 2,
где a и b — длины оснований трапеции, h — высота трапеции.
Также нам понадобится знание формулы для радиуса вписанной окружности:
r = (a + b — c) / 2,
где a, b, c — длины сторон треугольника, вписанного в трапецию.
Из условия задачи мы знаем, что центр вписанной окружности находится на расстоянии 1 см и 2 см от концов боковой стороны. Обозначим эти расстояния как x и y соответственно. Тогда длины сторон треугольника, вписанного в трапецию, будут равны:
a = x + y,
b = 2 * r,
c = h.
Также из условия задачи мы знаем, что x + y = b, то есть:
x + y = 2 * r.
Следовательно, мы можем выразить r через x и y:
r = (x + y) / 2.
Теперь мы можем выразить b через x и y:
b = 2 * r = x + y.
Таким образом, мы нашли длины оснований трапеции:
a = x + y,
b = x + y.
Осталось найти высоту трапеции. Для этого заметим, что высота трапеции равна расстоянию между параллельными основаниями. Из условия задачи мы знаем, что это расстояние равно 2 см. Следовательно:
h = 2.
Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:
S = (a + b) * h / 2 = (x + y + x + y) * 2 / 2 = 2 * (x + y).
Но мы уже знаем, что x + y = 2 * r, поэтому:
S = 4 * r.
Из формулы для радиуса вписанной окружности мы знаем, что r = (a + b — c) / 2. Подставляя найденные значения для a, b и c, получаем:
r = (x + y + 2 — 2) / 2 = (x + y) / 2.
Следовательно, площадь трапеции равна:
S = 4 * r = 4 * (x + y) / 2 = 2 * (x + y).
Ответ: площадь прямоугольной трапеции равна 2 * (x + y), где x и y — расстояния от центра вписанной окружности до концов боковой стороны.
