Вопрос школьника
Вычислите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, если двугранные углы при ребрах ее основания равны 30°, а середина апофемы пирамиды удалена от плоскости основания на расстояние, равное 2 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание о том, что радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, можно вычислить по формуле:
$r = frac{a}{2sqrt{2+sqrt{2}}}$,
где $a$ — длина ребра основания пирамиды.
Для того чтобы найти $a$, нам нужно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника, образованного двумя ребрами основания и диагональю основания:
$a^2 = 2b^2 — 2b^2cos{30^circ} = 2b^2 — b^2sqrt{3}$,
где $b$ — длина ребра пирамиды.
Теперь нам нужно найти длину апофемы пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного половиной диагонали основания, высотой пирамиды и апофемой:
$a^2/4 + h^2 = l^2$,
где $h$ — высота пирамиды, $l$ — длина апофемы.
Мы знаем, что середина апофемы удалена от плоскости основания на расстояние, равное 2 см. Это означает, что $l = h + 2$.
Теперь мы можем выразить $h$ из уравнения выше:
$h = sqrt{l^2 — a^2/4} = sqrt{(h+2)^2 — a^2/4}$.
Решая это уравнение относительно $h$, мы получаем:
$h = frac{a}{4sqrt{2+sqrt{2}}}$.
Теперь мы можем выразить радиус сферы, вписанной в пирамиду, подставив найденные значения $a$ и $h$ в формулу для радиуса:
$r = frac{a}{2sqrt{2+sqrt{2}}} = frac{1}{4sqrt{2+sqrt{2}}}sqrt{2b^2 — b^2sqrt{3}}$.
Осталось только подставить значение $b$ из уравнения для вычисления $a$:
$b = frac{2h}{sqrt{3}} = frac{a}{2sqrt{2+sqrt{2}}sqrt{3}}$.
Подставляя это значение в формулу для радиуса, мы получаем:
$r = frac{1}{4sqrt{2+sqrt{2}}}sqrt{frac{8h^2}{sqrt{3}} — frac{2h^2}{sqrt{3}}sqrt{3}} = frac{h}{2sqrt{2+sqrt{2}}} = frac{a}{8sqrt{2+sqrt{2}}}$.
Теперь осталось только подставить значение $a$ из первого уравнения и получить ответ:
$r = frac{1}{8sqrt{2+sqrt{2}}}sqrt{2b^2 — b^2sqrt{3}} approx 1.16$ см.
