Вопрос школьника
Вычислите скалярное произведение векторов р=а-b-с и q = a-b + c, если |а| = 5, |b| = 2, | с | = 4 и а перпендикулярен b.
Ответ от учителя
Для вычисления скалярного произведения векторов необходимо умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения.
Из условия задачи известно, что вектор а перпендикулярен вектору b. Это означает, что скалярное произведение векторов a и b равно нулю:
a · b = 0
Также известны длины векторов a, b и c:
|а| = 5, |b| = 2, |с| = 4
Теперь можно выразить векторы p и q через координаты векторов a, b и c:
p = a — b — c
q = a — b + c
Вычислим скалярное произведение векторов p и q:
p · q = (a — b — c) · (a — b + c)
= a · a — a · b + a · c — b · a + b · b — b · c — c · a + c · b + c · c
Заметим, что первое и последнее слагаемые являются квадратами длин векторов a и c соответственно:
a · a = |a|² = 5² = 25
c · c = |c|² = 4² = 16
Также заметим, что векторы a и b перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:
a · b = 0
Тогда выражение для скалярного произведения p · q упрощается:
p · q = 25 — 0 + 4 — 0 + 4 — 2b · c — 0 + 2b · c + 16
= 49
Ответ: скалярное произведение векторов p и q равно 49.
