Вопрос школьника
Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго — 0,5, третьего — 0,6, четвертого — 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают: а) все четыре блока; б) три блока; в) менее трех блоков.
Ответ от учителя
а) Чтобы все четыре блока проработали безотказно в течение времени Т, необходимо, чтобы каждый из блоков проработал безотказно. Вероятность того, что первый блок проработает безотказно, равна 0,4, вероятность того, что второй блок проработает безотказно, равна 0,5, вероятность того, что третий блок проработает безотказно, равна 0,6, вероятность того, что четвертый блок проработает безотказно, равна 0,4. Таким образом, вероятность того, что все четыре блока проработают безотказно, равна произведению вероятностей безотказной работы каждого из блоков:
P(все четыре блока проработают безотказно) = 0,4 * 0,5 * 0,6 * 0,4 = 0,048.
б) Чтобы три блока проработали безотказно в течение времени Т, необходимо, чтобы один из блоков не проработал безотказно. Возможны четыре варианта того, какой блок не проработает безотказно: первый, второй, третий или четвертый. Вероятность того, что первый блок не проработает безотказно, равна 1 — 0,4 = 0,6, вероятность того, что второй блок не проработает безотказно, равна 1 — 0,5 = 0,5, вероятность того, что третий блок не проработает безотказно, равна 1 — 0,6 = 0,4, вероятность того, что четвертый блок не проработает безотказно, равна 1 — 0,4 = 0,6. Таким образом, вероятность того, что три блока проработают безотказно, равна сумме произведений вероятностей безотказной работы трех блоков, умноженных на вероятность того, что оставшийся блок не проработает безотказно:
P(три блока проработают безотказно) = 0,6 * 0,5 * 0,6 * 0,4 + 0,4 * 0,5 * 0,6 * 0,6 + 0,4 * 0,5 * 0,4 * 0,6 + 0,4 * 0,6 * 0,5 * 0,6 = 0,432.
в) Чтобы менее трех блоков проработали безотказно в течение времени Т, необходимо, чтобы не более двух блоков проработали безотказно. Возможны пять вариантов того, сколько блоков проработает безотказно: ни одного, один, два, три или все четыре. Вероятность того, что ни один блок не проработает безотказно, равна произведению вероятностей того, что каждый из блоков не проработает безотказно:
P(ни один блок не проработает безотказно) = (1 — 0,4) * (1 — 0,5) * (1 — 0,6) * (1 — 0,4) = 0,144.
Вероятность того, что один блок проработает безотказно, равна сумме произведений вероятностей того, что каждый из блоков проработает безотказно, умноженных на вероятность того, что остальные блоки не проработают безотказно:
P(один блок проработает безотказно) = 0,4 * (1 — 0,5) * (1 — 0,6) * (1 — 0,4) + (1 — 0,4) * 0,5 * (1 — 0,6) * (1 — 0,4) + (1 — 0,4) * (1 — 0,5) * 0,6 * (1 — 0,4) + (1 — 0,4) * (1 — 0,5) * (1 — 0,6) * 0,4 = 0,432.
Вероятность того, что два блока проработают безотказно, равна сумме произведений вероятностей того, что каждая пара блоков проработает безотказно, умноженных на вероятность того, что остальные блоки не проработают безотказно:
P(два блока проработают безотказно) = 0,4 * 0,5 * (1 — 0,6) * (1 — 0,4) + 0,4 * (1 — 0,5) * 0,6 * (1 — 0,4) + (1 — 0,4) * 0,5 * 0,6 * (1 — 0,4) + 0,4 * (1 — 0,5) * (1 — 0,6) * 0,4 = 0,288.
Вероятность того, что три блока проработают безотказно, была найдена в пункте б).
Вероятность того, что все четыре блока проработают безотказно, была найдена в пункте а).
Таким образом, вероятность того, что менее трех блоков проработают безотказно, равна сумме вероятностей того, что ни один блок, один блок или два блока проработают безотказно:
P(менее трех блоков проработают безотказно) = 0,144 + 0,432 + 0,288 = 0,864.
