Вопрос школьника
Выпуклый четырехугольник с площадью S разбит диагоналями на четыре треугольника. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения медиан указанных треугольников.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой Вивiani, которая утверждает, что сумма квадратов расстояний от точки пересечения медиан треугольника до его вершин равна сумме квадратов длин его сторон.
Обозначим точки пересечения медиан треугольников, образованных диагоналями выпуклого четырехугольника, как A, B, C и D. Тогда каждый из этих треугольников имеет площадь, равную половине площади исходного четырехугольника, то есть S/2.
Рассмотрим треугольник ABD. Его медианы пересекаются в точке E, которая является центром тяжести треугольника ABD. По теореме Вивиани, сумма квадратов расстояний от точки E до вершин треугольника ABD равна сумме квадратов длин его сторон. Расстояние от точки E до вершины A равно 2/3 от расстояния от точки E до середины стороны BD, которая является точкой пересечения медиан треугольника BCD. Аналогично, расстояние от точки E до вершины D равно 2/3 от расстояния от точки E до середины стороны AB, которая является точкой пересечения медиан треугольника ACD.
Таким образом, сумма квадратов расстояний от точки E до вершин треугольника ABD равна:
(2/3 * BD/2)^2 + (2/3 * AB/2)^2 + (1/3 * AD)^2 = (1/9 * BD^2) + (1/9 * AB^2) + (1/9 * AD^2)
Аналогично, для треугольников ABC, ACD и BCD получаем:
сумма квадратов расстояний от точки F до вершин треугольника ABC равна (1/9 * AC^2) + (1/9 * BC^2) + (1/9 * AB^2)
сумма квадратов расстояний от точки G до вершин треугольника ACD равна (1/9 * AC^2) + (1/9 * AD^2) + (1/9 * CD^2)
сумма квадратов расстояний от точки H до вершин треугольника BCD равна (1/9 * BC^2) + (1/9 * BD^2) + (1/9 * CD^2)
Таким образом, площадь четырехугольника ABCD, образованного точками пересечения медиан треугольников ABD, ABC, ACD и BCD, равна:
S’ = S/2 + S/2 + S/2 + S/2 — (1/9 * BD^2) — (1/9 * AB^2) — (1/9 * AD^2) — (1/9 * AC^2) — (1/9 * CD^2) — (1/9 * BC^2)
S’ = 2S — (1/9 * (AB^2 + AD^2 + AC^2 + BC^2 + BD^2 + CD^2))
Таким образом, площадь искомого четырехугольника равна 2S минус 1/9 суммы квадратов длин всех его сторон.
