Вопрос школьника
Высота AM треугольника ABC делит его сторону ВС на отрезки ВМ и МС. Найдите площадь треугольника ABC, если АВ = 10√2 см, АС = 26 см, ∠В = 45°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится найти длины отрезков ВМ и МС. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике АВМ:
$AM^2 = AB^2 — BM^2 = (10sqrt{2})^2 — BM^2 = 200 — BM^2$
$AM^2 = AC^2 — CM^2 = 26^2 — CM^2 = 676 — CM^2$
Так как AM является высотой треугольника ABC, то BM + MC = BC. Следовательно,
$BM + MC = BC = ABsqrt{2} = 10sqrt{2}sqrt{2} = 20$
$BM = 20 — MC$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$AM^2 = 200 — (20 — MC)^2 = 200 — (400 — 40MC + MC^2) = MC^2 — 40MC — 200$
Теперь мы можем объединить два уравнения для AM:
$MC^2 — 40MC — 200 = 676 — CM^2$
$2MC^2 — 40MC — 876 = 0$
$MC^2 — 20MC — 438 = 0$
Решив это квадратное уравнение, получим:
$MC = 29.8$ или $MC = -14.8$
Отрицательное значение не имеет смысла, поэтому выбираем положительное:
$MC = 29.8$
Теперь мы можем найти длины сторон треугольника ABC:
$AB = 10sqrt{2}$
$BC = BM + MC = 20 — MC = 20 — 29.8 = -9.8$ (отрицательное значение не имеет смысла)
$AC = 26$
Так как сторона BC отрицательна, то треугольник ABC не существует. Следовательно, ответ на задачу — треугольник ABC не существует.
