Вопрос школьника
Высота CD прямоугольного треугольника ABC делит гипотенузу АВ на отрезки AD = 16 см и BD = 9 см. Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику CBD, и найдите высоту CD.
Ответ от учителя
Для доказательства подобия треугольников ACD и CBD необходимо показать, что они имеют два угла, равные между собой, и соответствующие стороны пропорциональны.
Угол ACD равен углу CBD, так как они являются вертикальными углами и по определению равны между собой.
Также можно заметить, что треугольники ACD и ABC имеют общий угол в точке C, а значит, угол ACD равен углу ABC.
Таким образом, угол ACD равен углу CBD, а угол ABC общий для обоих треугольников, что доказывает их подобие.
Для нахождения высоты CD можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABD:
AB^2 = AD^2 + BD^2
AB^2 = 16^2 + 9^2
AB^2 = 337
AB = √337
Теперь можно найти площадь треугольника ABC:
S(ABC) = 1/2 * AB * CD
Подставляя известные значения, получаем:
S(ABC) = 1/2 * √337 * CD
Также можно выразить площадь треугольника ABC через его высоту CD:
S(ABC) = 1/2 * AC * BD
Подставляя известные значения, получаем:
S(ABC) = 1/2 * CD * (16 + 9)
S(ABC) = 1/2 * CD * 25
Сравнивая два выражения для площади треугольника ABC, получаем:
1/2 * √337 * CD = 1/2 * CD * 25
√337 * CD = 25 * CD
CD = √337/25
CD ≈ 0.674 см
Таким образом, высота CD равна примерно 0.674 см.
