Вопрос школьника
Высота CD прямоугольного треугольника ABC отсекает от гипотенузы АВ длиной 9 см отрезок AD, равный 4 см. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику ACD, и найдите сторону АС.
Ответ от учителя
Для доказательства подобия треугольников ABC и ACD необходимо показать, что они имеют две пары соответственных равных углов и что соотношение длин сторон в этих треугольниках одинаково.
Первая пара углов: угол А в треугольнике ABC и угол А в треугольнике ACD. Они равны, так как являются противолежащими углами при пересечении прямой CD и прямой AB.
Вторая пара углов: угол B в треугольнике ABC и угол C в треугольнике ACD. Они равны, так как являются углами при пересечении прямой CD и прямой BC.
Таким образом, треугольники ABC и ACD подобны.
Для нахождения стороны AC воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABD:
AB^2 = AD^2 + BD^2
AB^2 = 4^2 + (AC — 9)^2
AB^2 = 16 + AC^2 — 18AC + 81
AB^2 = AC^2 — 18AC + 97
Также, по теореме Пифагора для треугольника ABC:
AB^2 = AC^2 + BC^2
AC^2 = AB^2 — BC^2
AC^2 = 25^2 — 16^2
AC^2 = 441
Из этих двух уравнений можно выразить BC^2 и подставить в первое уравнение:
BC^2 = AB^2 — AC^2
BC^2 = 625 — 441
BC^2 = 184
AB^2 = AC^2 + BC^2
625 = 441 + 184
Таким образом, сторона AC равна:
AC = √441 = 21
Ответ: сторона АС равна 21 см.
