Вопрос школьника
Высота CH треугольника ABC равна 10 см. Найдите высоту, проведенную к стороне AC, если AB = 12 см и AC = 15 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы для вычисления площади треугольника через его высоту:
S = 1/2 * h * b,
где S — площадь треугольника, h — высота, проведенная к основанию b.
В нашем случае известны высота CH и длины сторон AB и AC. Чтобы найти высоту, проведенную к стороне AC, нам нужно сначала найти площадь треугольника ABC, а затем выразить из формулы для площади высоту h.
Для этого воспользуемся формулой Герона для вычисления площади треугольника через длины его сторон:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),
где p — полупериметр треугольника, a, b, c — длины его сторон.
Вычислим сначала полупериметр:
p = (AB + AC + BC)/2 = (12 + 15 + BC)/2 = (27 + BC)/2.
Затем выразим длину стороны BC через высоту CH:
S = 1/2 * CH * AC,
S = √(p(p-AB)(p-AC)(p-BC)),
откуда
1/2 * CH * AC = √((27 + BC)/2 * (15 — 12)/2 * (27 + BC — 12)/2 * (27 + BC — 15)/2),
CH = 2 * √((27 + BC)/2 * 3/2 * (BC + 15 — 27)/2 * (BC + 12 — 27)/2) / AC.
Далее, заменяем BC на (AC — AB) = 3:
CH = 2 * √((27 + 3)/2 * 3/2 * (3 + 15 — 27)/2 * (3 + 12 — 27)/2) / 15,
CH = 2 * √(15/2 * (-3)/2 * (-12)/2) / 15,
CH = 2 * √135 / 15,
CH = 2 * 3√15 / 15,
CH = 2/5 * √15.
Таким образом, высота, проведенная к стороне AC, равна 2/5 * √15 см.
