Вопрос школьника
Высота и длина меньшего основания прямоугольной трапеции равны по 4 см. Угол между боковой стороной и основанием равен 45°. Вычислите площадь боковой поверхности усеченного конуса, полученного при вращении трапеции вокруг меньшей боковой стороны.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо найти радиус и высоту усеченного конуса.
Радиус усеченного конуса равен средней линии трапеции, которая вычисляется по формуле:
$$r = frac{a+b}{2}$$
Где $a$ и $b$ — длины большего и меньшего оснований соответственно. В нашем случае $a$ равно длине большего основания, которое мы не знаем, поэтому обозначим его как $x$. Тогда:
$$r = frac{x+4}{2}$$
Высота усеченного конуса равна высоте трапеции, которая также равна 4 см.
Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса по формуле:
$$S = pi r l$$
Где $l$ — образующая усеченного конуса, которая вычисляется по теореме Пифагора:
$$l = sqrt{h^2 + (r_1 — r_2)^2}$$
Где $h$ — высота усеченного конуса, $r_1$ и $r_2$ — радиусы большего и меньшего оснований соответственно. В нашем случае $r_1$ равен радиусу окружности, полученной при вращении большего основания трапеции, который мы вычислим через теорему Пифагора:
$$r_1 = sqrt{(x/2)^2 + 4^2}$$
Теперь мы можем вычислить образующую:
$$l = sqrt{4^2 + (sqrt{(x/2)^2 + 4^2} — frac{x+4}{2})^2}$$
Подставляем все значения в формулу для площади боковой поверхности:
$$S = pi frac{x+4}{2} sqrt{4^2 + (sqrt{(x/2)^2 + 4^2} — frac{x+4}{2})^2}$$
Данное выражение можно упростить, но оно уже достаточно сложное для ручного вычисления. Можно воспользоваться программой или калькулятором для численного решения.
