Вопрос школьника
Высота и радиус основания цилиндра равны соответственно √6R и R. Вершины прямоугольника ABCD лежат на окружностях оснований и различных образующих цилиндра. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если АВ:ВС = 1:3.
Ответ от учителя
Пусть центр основания цилиндра находится в точке O. Тогда, так как радиус основания равен R, то диаметр равен 2R, а длина окружности равна 2πR. Поэтому длина образующей цилиндра равна √(6R)² + R² = √(36R² + R²) = √37R².
Так как вершины прямоугольника ABCD лежат на окружностях оснований и различных образующих цилиндра, то они лежат на трех окружностях: окружности основания с радиусом R, окружности основания с радиусом √6R и окружности с радиусом √37R.
Пусть точки A и D лежат на окружности основания с радиусом R, а точки B и C лежат на окружности основания с радиусом √6R. Тогда AB и CD являются диаметрами соответствующих окружностей. Поэтому AB = 2R и CD = 2√6R.
Так как АВ:ВС = 1:3, то ВС = 3AB = 6R. Также, так как BC и AD являются образующими цилиндра, то BC = AD = √37R.
Теперь можно найти площадь прямоугольника ABCD. Площадь равна произведению длины на ширину, то есть S = AB × BC = 2R × 6R = 12R². Поэтому S = 12(√6R)² = 72R. Ответ: площадь прямоугольника ABCD равна 72R.
