Вопрос школьника
Высота, опушенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, равные 24 и 54. Найдите катеты этого треугольника.
Ответ от учителя
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а высота, опущенная на гипотенузу, равна h. Тогда по теореме Пифагора имеем:
a^2 + b^2 = h^2 (1)
Также из условия задачи известно, что гипотенуза делится высотой на два отрезка, длины которых равны 24 и 54. Обозначим эти отрезки как x и y соответственно:
x + y = h (2)
x = 24, y = 54
Подставляя значения x и y в уравнение (2), получаем:
24 + 54 = h
h = 78
Теперь подставляем найденное значение h в уравнение (1):
a^2 + b^2 = 78^2
a^2 + b^2 = 6084 (3)
Таким образом, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (1) и (3). Их можно решить методом подстановки или методом выражения одной переменной через другую. Воспользуемся вторым методом.
Из уравнения (2) выражаем x через h и y:
x = h — y
Подставляем это выражение в уравнение (1):
a^2 + b^2 = (h — y)^2 + y^2
a^2 + b^2 = h^2 — 2hy + 2y^2
Теперь подставляем найденные значения h и y:
a^2 + b^2 = 6084 — 2*78*y + 2*y^2
a^2 + b^2 = 2y^2 — 156y + 6084
Таким образом, мы получили уравнение только с одной неизвестной y. Решаем его:
2y^2 — 156y + 6084 = 0
y^2 — 78y + 3042 = 0
D = b^2 — 4ac = 78^2 — 4*1*3042 = 2116
y1 = (78 + sqrt(D))/2 = 57
y2 = (78 — sqrt(D))/2 = 21
Так как y — это длина отрезка, на который гипотенуза делится высотой, то y1 = 54 (не подходит, так как больше длины гипотенузы), а y2 = 24.
Теперь подставляем найденное значение y в уравнение (2) и находим x:
x = h — y = 78 — 24 = 54
Таким образом, мы нашли значения всех сторон прямоугольного треугольника:
a^2 + b^2 = 6084
x = 54, y = 24
Ответ: катеты равны 24 и 54.
