Вопрос школьника
Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см.
Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо знать формулу для вычисления площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды. Эта формула выглядит следующим образом:
S = (P * l) / 2,
где S — площадь боковой поверхности, P — периметр основания пирамиды, l — апофема боковой грани.
В нашем случае, у нас правильная треугольная пирамида, значит, у нее основание — равносторонний треугольник. Периметр такого треугольника можно вычислить по формуле:
P = 3a,
где a — длина стороны треугольника.
Так как у нас высота пирамиды равна 4 см, а апофема равна 8 см, то мы можем вычислить длину стороны треугольника по теореме Пифагора:
a^2 = h^2 + (l/2)^2,
где h — высота боковой грани.
Подставляя известные значения, получаем:
a^2 = 4^2 + (8/2)^2 = 20,
a = √20 = 2√5.
Теперь мы можем вычислить периметр основания:
P = 3a = 3 * 2√5 = 6√5.
Осталось вычислить длину апофемы боковой грани. Так как у нас правильная треугольная пирамида, то апофема боковой грани равна половине длины диагонали основания, то есть:
l = a√3/2 = 2√15/2 = √15.
Теперь мы можем подставить все известные значения в формулу для площади боковой поверхности:
S = (P * l) / 2 = (6√5 * √15) / 2 = 9√3 * 5 см^2.
Ответ: площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 9√3 * 5 см^2.
