Вопрос школьника
Высота правильной треугольной призмы равна h. Плоскость а, проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол ф. Найдите площадь сечения призмы плоскостью а.
Ответ от учителя
Пусть основание призмы — равносторонний треугольник со стороной a, а высота призмы равна h. Тогда средняя линия нижнего основания равна a/2, а сторона верхнего основания равна a/2 * √3 (так как это равносторонний треугольник).
Плоскость а проходит через среднюю линию нижнего основания, поэтому она делит эту линию пополам. Также она параллельна стороне верхнего основания, поэтому она делит эту сторону на две равные части.
Теперь рассмотрим треугольник, образованный плоскостью а и нижним основанием призмы. Этот треугольник является прямоугольным, так как плоскость а проходит через середину одной из сторон нижнего основания и параллельна другой стороне верхнего основания.
Пусть точка пересечения плоскости а и нижнего основания призмы обозначена как O. Тогда можно провести высоту треугольника OAB (где A и B — вершины нижнего основания призмы), которая будет проходить через точку O и перпендикулярна плоскости а.
Таким образом, мы получим два прямоугольных треугольника OAB и ODC (где C и D — середины сторон верхнего основания призмы), которые будут подобными друг другу.
Из подобия треугольников OAB и ODC можно выразить отношение сторон:
AB/DC = OB/OD = h/(a/2)
AB = (h/a) * DC
Теперь можно найти площадь сечения призмы плоскостью а. Эта площадь будет равна площади прямоугольного треугольника OAB, умноженной на 2 (так как есть два таких треугольника).
Площадь треугольника OAB равна:
S = (1/2) * AB * OA
S = (1/2) * (h/a) * DC * (a/2)
S = (1/4) * h * DC
DC = a/2 * √3
S = (1/8) * h * a * √3
Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью а равна (1/4) площади нижнего основания призмы, умноженной на √3.
