Вопрос школьника
Высота, проведённая из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен 2 см. Найдите большее основание трапеции, если её средняя линия равна 8 см.
Ответ от учителя
Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, где $AB$ и $CD$ — основания, $AD=BC$ — боковые стороны, $E$ — точка на $AB$, такая что $CEperp AB$. Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то $AD=BC=frac{AB-CD}{2}$. Пусть $M$ — середина $AB$, тогда $ME$ — высота трапеции, проведенная из вершины $C$. По условию, $ME$ делит $AB$ на два отрезка, причем меньший из них равен $2$ см. Значит, $AM=MB-2$. Также из условия известно, что средняя линия трапеции равна $8$ см, то есть $MN=8$, где $N$ — середина $CD$.
Так как $M$ — середина $AB$, то $MNparallel AB$, и $MN=frac{AD+BC}{2}=frac{AB-CD}{2}$. Значит, $frac{AB-CD}{2}=8$, откуда $AB-CD=16$. Также из равнобедренности трапеции $AD=BC$, то есть $AD+BC=2AD$. Значит, $2AD=AB+CD$. Подставляем $AB-CD=16$ и $2AD=AB+CD$ и получаем систему уравнений:
$$begin{cases} AB-CD=16 \ 2AD=AB+CD end{cases}$$
Решаем ее методом подстановки. Из первого уравнения находим $CD=AB-16$. Подставляем это во второе уравнение и получаем $2AD=2AB-16$, то есть $AD=AB-8$. Так как $AD=BC$, то $BC=AB-8$. Таким образом, мы выразили $AD$ и $BC$ через $AB$.
Теперь воспользуемся формулой для средней линии трапеции: $MN=frac{AD+BC}{2}$. Подставляем выражения для $AD$ и $BC$ и получаем:
$$8=frac{(AB-8)+(AB-8)}{2}$$
Откуда $AB=24$. Таким образом, большее основание трапеции равно $AB=24$ см.
