Вопрос школьника
Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника равна 9 см, а само основание равно 24см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей
Ответ от учителя
Для начала, посмотрим на рисунок:
Обозначим высоту, проведенную к основанию, как $h$, а основание как $b$. Так как треугольник равнобедренный, то его боковые стороны равны, обозначим их как $a$. Тогда из свойств равнобедренного треугольника следует, что высота $h$ является медианой и биссектрисой одновременно.
Найдем длину боковой стороны $a$ с помощью теоремы Пифагора:
$$a^2 = h^2 + left(frac{b}{2}right)^2$$
Подставляем известные значения:
$$a^2 = 9^2 + left(frac{24}{2}right)^2 = 81 + 144 = 225$$
$$a = sqrt{225} = 15$$
Теперь можем найти радиусы вписанной и описанной окружностей. Радиус вписанной окружности $r$ равен половине периметра треугольника, деленной на площадь треугольника:
$$r = frac{P}{2S}$$
Периметр треугольника равен:
$$P = a + b + a = 2a + b = 2 cdot 15 + 24 = 54$$
Площадь треугольника равна:
$$S = frac{1}{2}bh = frac{1}{2} cdot 24 cdot 9 = 108$$
Подставляем значения:
$$r = frac{54}{2 cdot 108} = frac{1}{2}$$
Таким образом, радиус вписанной окружности равен $frac{1}{2}$ см.
Радиус описанной окружности $R$ равен половине длины боковой стороны $a$:
$$R = frac{a}{2} = frac{15}{2} = 7.5$$
Таким образом, радиус описанной окружности равен 7.5 см.
