Вопрос школьника
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна а и образует угол а с медианой, проведённой из той же вершины. Найдите катеты треугольника.
Ответ от учителя
Пусть катеты треугольника равны b и c, а гипотенуза равна h. Тогда по теореме Пифагора имеем:
b^2 + c^2 = h^2
Высота, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника. Пусть x — длина отрезка медианы, проведенной из вершины прямого угла. Тогда по определению медианы имеем:
2x = h
Высота, проведенная из вершины прямого угла, образует угол а с медианой, проведенной из той же вершины. По определению косинуса имеем:
cos(a) = x/h
Так как треугольник прямоугольный, то по определению тангенса имеем:
tan(a) = b/c
Из уравнения cos(a) = x/h следует, что x = h*cos(a). Подставляя это выражение в уравнение tan(a) = b/c, получаем:
tan(a) = b/c = h*cos(a)/c
Отсюда находим:
b = c*tan(a)
Подставляя это выражение в уравнение b^2 + c^2 = h^2, получаем:
c^2*(1 + tan^2(a)) = h^2
Так как 2x = h, то x = h/2. Подставляя это выражение в уравнение cos(a) = x/h, получаем:
cos(a) = 1/2
Отсюда находим:
sin(a) = sqrt(3)/2
Таким образом, имеем систему уравнений:
b = c*tan(a)
c^2*(1 + tan^2(a)) = h^2
cos(a) = 1/2
sin(a) = sqrt(3)/2
Решая эту систему, получаем:
c = a/sqrt(3)
b = a*sqrt(3)
h = 2a
Таким образом, катеты треугольника равны a*sqrt(3) и a/sqrt(3).
