Вопрос школьника
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 14 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 7 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Ответ от учителя
Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда по теореме Пифагора:
c^2 = a^2 + b^2
Высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника. Пусть h — высота, проведенная к гипотенузе, а x — проекция одного из катетов на гипотенузу. Тогда:
h^2 = x(a-x)
Так как треугольник прямоугольный, то проекция одного из катетов на гипотенузу равна:
x = (ab)/c
Подставляем x в формулу для h^2:
h^2 = (ab/c)(a — b)
Теперь можем выразить a и b через h и x:
a = (h^2 + x^2)/x
b = (h^2 + (c-x)^2)/(c-x)
Подставляем a и b в формулу для c^2:
c^2 = ((h^2 + x^2)/x)^2 + ((h^2 + (c-x)^2)/(c-x))^2
Решаем уравнение относительно c. Получаем:
c = sqrt((h^2 + x^2 + h^2(c-x)^2/(c-x)^2)/(1 + h^2/(x(c-x))^2))
Подставляем известные значения:
h = 14 см
x = 7 см
c = sqrt((14^2 + 7^2 + 14^2(c-7)^2/(c-7)^2)/(1 + 14^2/(7(c-7))^2)) ≈ 29.5 см
Ответ: гипотенуза треугольника равна примерно 29.5 см.
