Вопрос школьника
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 32 см, а диаметр вписанной окружности 24 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
Ответ от учителя
Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, а высота, проведенная к этому основанию, равна h. Тогда площадь треугольника равна S = (a*h)/2.
Так как треугольник равнобедренный, то его высота, проведенная к основанию, является биссектрисой угла между равными сторонами. Значит, у нас есть два равных треугольника, образованных биссектрисой и основанием. Пусть каждая из этих сторон равна b. Тогда из свойств равнобедренного треугольника следует, что a = 2b.
Также известно, что диаметр вписанной окружности равен 24 см. Значит, радиус этой окружности равен r = 12 см.
Известно, что радиус вписанной окружности равен h, а площадь треугольника равна S = (a*h)/2. Подставляя a = 2b, получаем:
S = (2b*h)/2 = b*h
Также известно, что площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр треугольника p:
S = p*r
Полупериметр треугольника равен p = (a+b+b)/2 = (2b+2b)/2 = 2b.
Подставляя выражения для S и p, получаем:
b*h = 2b*r
h = 2r
Таким образом, высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 2r.
Из теоремы о радиусах окружностей, вписанных и описанных около треугольника, следует, что радиус описанной окружности равен R = (abc)/(4S), где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.
В нашем случае a = 2b, b = h, c = 2b (так как треугольник равнобедренный), а S = (a*h)/2 = b*h. Подставляя все значения, получаем:
R = (2b*h*2b)/(4*b*h) = b
Таким образом, радиус описанной окружности равен b, то есть половине основания равнобедренного треугольника. Из условия задачи известно, что высота, проведенная к основанию, равна 32 см. Значит, основание равнобедренного треугольника равно a = 2b = 64 см, а радиус описанной окружности равен b = a/2 = 32 см.
