Вопрос школьника
Высота равнобедренного треугольника равна 18 см, а радиус вписанной в него окружности — 5 см. Найдите площадь данного треугольника.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы для площади равнобедренного треугольника через его высоту и основание:
$S = frac{1}{2}bh$
где $b$ — длина основания, $h$ — высота.
Также нам понадобится знание формулы для радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:
$r = frac{a}{2}sqrt{2(1-cos{alpha})}$
где $a$ — длина стороны треугольника, $alpha$ — угол между стороной и биссектрисой угла, проведенной из вершины к основанию.
В нашем случае, так как треугольник равнобедренный, то $a$ — длина любой из двух равных сторон, а $alpha$ — угол между этой стороной и биссектрисой угла, проведенной из вершины к основанию. Так как биссектриса делит угол на две равные части, то $alpha = frac{180^circ — angle A}{2}$, где $angle A$ — угол при основании треугольника.
Теперь мы можем решить задачу. Пусть $AB = AC = a$ — длина равных сторон треугольника, $BC = b$ — длина основания, $h = 18$ — высота, $r = 5$ — радиус вписанной окружности.
Из свойств вписанной окружности следует, что биссектриса угла $A$ является радиусом вписанной окружности. Поэтому мы можем выразить $a$ через $r$ и $alpha$:
$a = 2rsqrt{2(1-cos{alpha})}$
Также мы можем выразить $b$ через $a$ и $h$, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:
$b^2 = a^2 — h^2$
Теперь мы можем выразить площадь треугольника через $a$ и $h$:
$S = frac{1}{2}bh = frac{1}{2}asqrt{a^2 — h^2}$
Подставляя выражения для $a$ и $b$, получаем:
$S = frac{1}{2}(2rsqrt{2(1-cos{alpha})})sqrt{(2rsqrt{2(1-cos{alpha})})^2 — h^2}$
Подставляя известные значения, получаем:
$S = frac{1}{2}(2cdot 5cdot sqrt{2(1-cos{frac{180^circ — angle A}{2}})})sqrt{(2cdot 5cdot sqrt{2(1-cos{frac{180^circ — angle A}{2}})})^2 — 18^2}$
Угол $angle A$ можно найти, используя свойства равнобедренного треугольника:
$angle A = 180^circ — 2angle B = 180^circ — 2arctan{frac{b}{2h}} = 180^circ — 2arctan{frac{a}{4h}}$
Подставляя известные значения, получаем:
$angle A = 180^circ — 2arctan{frac{2cdot 5cdot sqrt{2}}{4cdot 18}} approx 100.53^circ$
Подставляя все известные значения в формулу для площади, получаем:
$S approx 270.58 text{ см}^2$
Ответ: площадь равнобедренного треугольника равна примерно 270.58 квадратных сантиметров.
