Вопрос школьника
Высота равнобедренной трапеции равна 12; её средняя линия равна 16. Найти периметр трапеции, если известно, что её диагональ перпендикулярна боковой стороне
Ответ от учителя
Пусть трапеция ABCD имеет основания AB и CD, высоту h и среднюю линию EF. Пусть также диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD.
Так как трапеция ABCD равнобедренная, то её диагонали AC и BD равны. Поэтому, AC = BD.
Также, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ACD, имеем:
AC² = AD² + CD²
Так как AC = BD, то BD² = AD² + CD².
Из равенства треугольников ABD и CBD следует, что AB = CD.
Таким образом, имеем систему уравнений:
h = 12
EF = 16
BD² = AD² + CD²
AB = CD
Найдём BD. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:
BD² = AB² + AD²
Так как AB = CD, то BD² = CD² + AD².
С другой стороны, из равенства треугольников ABD и CBD следует, что AD = BC. Поэтому, BD² = CD² + BC².
Таким образом, имеем систему уравнений:
h = 12
EF = 16
BD² = CD² + BC²
AB = CD
Найдём BC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника BCD:
BC² = BD² — CD²
Используя найденное значение BD², получаем:
BC² = (CD² + BC²) — CD²
Отсюда следует, что BC² = BD²/2.
Таким образом, имеем систему уравнений:
h = 12
EF = 16
BD² = CD² + BC²
AB = CD
BC² = BD²/2
Найдём периметр трапеции. Для этого воспользуемся формулой для периметра:
P = AB + BC + CD + AD
Используя найденные значения AB и BC, получаем:
P = AB + 2BC + CD
Так как AB = CD, то P = 2AB + 2BC.
Найдём AB. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника AEF:
EF² = AB² — (h/2)²
Используя найденное значение h, получаем:
EF² = AB² — 72
Отсюда следует, что AB² = EF² + 72.
Таким образом, имеем систему уравнений:
h = 12
EF = 16
BD² = CD² + BC²
AB = CD
BC² = BD²/2
AB² = EF² + 72
Найдём BC² и BD². Для этого воспользуемся системой уравнений:
BC² = BD²/2
BD² = CD² + BC²
Из первого уравнения следует, что BD² = 2BC².
Подставляя это во второе уравнение, получаем:
2BC² = CD² + BC²
Отсюда следует, что BC² = CD².
Таким образом, имеем систему уравнений:
h = 12
EF = 16
BC² = CD²
AB = CD
BD² = 3BC²
AB² = EF² + 72
Найдём BC и CD. Для этого воспользуемся системой уравнений:
BC² = CD²
AB = CD
Отсюда следует, что BC = CD = AB/2.
Таким образом, имеем систему уравнений:
h = 12
EF = 16
BC = CD = AB/2
BD² = 3BC²
AB² = EF² + 72
Найдём AB. Для этого воспользуемся уравнением:
AB = 2BC
Используя найденное значение BC, получаем:
AB = CD = 8
Найдём BD. Для этого воспользуемся уравнением:
BD² = 3BC²
Используя найденное значение BC, получаем:
BD = 12√3
Найдём периметр трапеции. Для этого воспользуемся формулой:
P = 2AB + 2BC
Используя найденные значения AB и BC, получаем:
P = 32
Ответ: периметр равнобедренной трапеции равен 32.
