Вопрос школьника
Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Вычислите градусные меры углов ромба.
Ответ от учителя
Пусть сторона ромба равна a, а высота, проведенная из вершины тупого угла, равна h. Так как высота делит сторону ромба пополам, то получаем, что одна половина стороны равна a/2.
Рассмотрим треугольник, образованный высотой и половиной стороны ромба. Он является прямоугольным, так как высота проведена из вершины тупого угла. Поэтому применяем теорему Пифагора:
h^2 + (a/2)^2 = a^2
Раскрываем скобки и приводим подобные:
h^2 + a^2/4 = a^2
Умножаем обе части уравнения на 4:
4h^2 + a^2 = 4a^2
Вычитаем a^2 из обеих частей:
4h^2 = 3a^2
Делим обе части на 4:
h^2 = 3a^2/4
Извлекаем корень:
h = a*sqrt(3)/2
Теперь можем найти градусные меры углов ромба. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и диагональю. Он является равнобедренным, так как две стороны ромба равны, а диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника. Поэтому углы при основании равны между собой.
Обозначим угол при основании через x. Тогда угол между высотой и стороной ромба равен 90-x. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой и половиной стороны ромба, мы знаем, что:
tg(x) = h/(a/2) = (a*sqrt(3)/2)/(a/2) = sqrt(3)
Находим угол x:
x = arctg(sqrt(3)) = 60 градусов
Таким образом, угол при основании ромба равен 60 градусов, а угол при вершине тупого угла равен 180-2x = 60 градусов. Остальные два угла ромба равны между собой и равны 180-2x = 60 градусов.
