Вопрос школьника
Высота ВН прямого угла прямоугольного треугольника ABC делит его гипотенузу на отрезки АН = 2 и СН = 8. Найдите длину этой высоты.
Ответ от учителя
Пусть высота ВН равна h, а гипотенуза треугольника ABC равна c. Так как высота ВН делит гипотенузу на отрезки АН и СН, то мы можем записать:
AN + NH + HC = c
Подставляя значения АН = 2 и СН = 8, получаем:
2 + h + 8 = c
h + 10 = c
Также мы знаем, что площадь треугольника ABC равна:
S = (AB * BC) / 2 = (h * c) / 2
Подставляя выражение для c, получаем:
S = (h * (h + 10)) / 2
Чтобы найти длину высоты h, нам нужно решить уравнение для площади S, которое получается из последнего выражения:
(h * (h + 10)) / 2 = S
h * (h + 10) = 2S
h^2 + 10h — 2S = 0
Решая это квадратное уравнение относительно h, получаем:
h = (-10 + √(100 + 8S)) / 2
Таким образом, чтобы найти длину высоты ВН, нам нужно подставить значение площади S = (2 * 8) / 2 = 8 в последнее выражение:
h = (-10 + √(100 + 64)) / 2 = (-10 + 12) / 2 = 1
Ответ: длина высоты ВН прямого угла прямоугольного треугольника ABC равна 1.