Вопрос школьника
Высоты AA₁ и BB₁ равнобедренного треугольника ABC, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке M. Докажите, что прямая MC – серединный перпендикуляр к отрезку AB.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством высот треугольника: высота, проведенная к стороне треугольника, является перпендикуляром к этой стороне и проходит через вершину, противолежащую этой стороне.
Пусть H₁ и H₂ – основания высот AA₁ и BB₁ соответственно. Тогда, по свойству высот, мы имеем:
AH₁ ⊥ BC и AH₁ проходит через A
BH₂ ⊥ AC и BH₂ проходит через B
Также, по условию задачи, треугольник ABC является равнобедренным, то есть AB = AC. Это означает, что точка M, в которой пересекаются высоты, лежит на биссектрисе угла A.
Теперь рассмотрим треугольник AMC. Так как AM является биссектрисой угла A, то угол MAC равен углу MAB. Но также мы знаем, что угол MAB равен углу MBA (так как треугольник равнобедренный). Следовательно, угол MAC равен углу MBA.
Таким образом, мы получили, что углы MAC и MBA равны между собой. Но это означает, что треугольник AMC равнобедренный, так как AM является биссектрисой угла A и HM ⊥ AB. Следовательно, MC = MA.
Но мы также знаем, что AB = AC. Следовательно, MC является серединным перпендикуляром к отрезку AB.
Таким образом, мы доказали, что прямая MC является серединным перпендикуляром к отрезку AB.
