Вопрос школьника
Высоты AA1 и BB1 равнобедренного треугольника ABC, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке H. Докажите, что прямая HC — серединный перпендикуляр к отрезку AB.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника.
Пусть треугольник ABC равнобедренный, то есть AB=AC. Проведем высоту AA1 к стороне BC. Тогда, по свойству равнобедренного треугольника, угол A1AB равен углу A1AC. Но также угол A1AB равен 90 градусов, так как AA1 является высотой. Значит, угол A1AC тоже равен 90 градусов. То есть, высота AA1 является биссектрисой угла BAC.
Аналогично, проведем высоту BB1 к стороне AC. Тогда, по тем же свойствам равнобедренного треугольника, высота BB1 является биссектрисой угла ABC.
Теперь рассмотрим треугольник AHB. В нем угол AHB равен 180 градусов (сумма углов треугольника), угол AHA1 равен 90 градусов (высота), угол BHB1 равен 90 градусов (высота). Значит, угол A1HB1 равен 180 — 90 — 90 = 0 градусов, то есть точки A1, H и B1 лежат на одной прямой.
Таким образом, мы получили, что высоты AA1 и BB1 пересекаются в точке H, которая лежит на прямой, проходящей через середину AB и перпендикулярной ей. Значит, прямая HC является серединным перпендикуляром к отрезку AB.
