Вопрос школьника
Высоты AD i CM равнобедренного треугольника ABC (AB = ВС) пересекаются в точке Н, ∟AHC = 140 °. Найдите углы треугольника ABC
Ответ от учителя
Так как треугольник ABC является равнобедренным, то высоты AD и CM являются биссектрисами углов A и C соответственно. Также, так как AB = BC, то углы A и C равны между собой.
Из условия задачи известно, что ∟AHC = 140°. Так как угол AHC является внутренним углом треугольника ABC, то сумма углов этого треугольника равна 360°. Следовательно, угол B равен:
∟B = 360° — ∟A — ∟C = 360° — 2∟A
Также известно, что высоты AD и CM пересекаются в точке Н. Так как высоты являются перпендикулярами к сторонам треугольника, то точка Н является ортоцентром треугольника ABC. Следовательно, угол ∟BHC равен 180° — ∟AHC = 40°.
Так как точка Н является пересечением высот, то она лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Так как угол ∟BHC является вписанным углом этой окружности, а дуга BC, соответствующая этому углу, равна удвоенному углу ∟B, то угол ∟BHC равен половине угла ∟B:
∟BHC = 1/2 ∟B
Отсюда получаем:
40° = 1/2 ∟B
∟B = 80°
Таким образом, углы треугольника ABC равны:
∟A = ∟C = (180° — ∟B)/2 = 50°
Ответ: ∟A = ∟C = 50°, ∟B = 80°.
