Вопрос школьника
Высоты AM i CK треугольника ABC пересекаются в точке О, ОК = ОМ, ∟BAM = ∟ACK. Докажите, что треугольник ABC равносторонний
Ответ от учителя
Для доказательства того, что треугольник ABC равносторонний, нужно показать, что все его стороны равны между собой.
Рассмотрим треугольник ABC и его высоты AM и CK, пересекающиеся в точке О. По условию, ОК = ОМ, что означает, что точка О лежит на биссектрисе угла АСК.
Также по условию, ∟BAM = ∟ACK, что означает, что углы АМВ и АКС равны между собой, где В и С — точки пересечения высот с соответствующими сторонами треугольника ABC.
Рассмотрим треугольники АМВ и АКС. Они имеют общую сторону АО и равные углы АМО и АКО, так как точка О лежит на биссектрисе угла АСК. Значит, треугольники АМО и АКО равны между собой по двум сторонам и углу, что означает, что стороны АМ и АК равны между собой.
Таким же образом можно доказать, что стороны ВМ и СК равны между собой.
Из равенства сторон АМ и АК, а также ВМ и СК следует, что АК + КС = АМ + МВ. Но АК + КС = AC, а АМ + МВ = AB, так как АМ и МВ — это высоты треугольника ABC, опущенные на стороны AC и AB соответственно.
Таким образом, получаем, что AC = AB, что означает, что треугольник ABC равносторонний.
