Вопрос школьника
Высоты ME i NF треугольника MKN пересекаются в точке О, ОМ = ON, MF = КЭ. Докажите, что треугольник MKN равносторонний
Ответ от учителя
Для доказательства того, что треугольник MKN равносторонний, нужно показать, что его стороны равны между собой.
Рассмотрим высоты ME и NF треугольника MKN, которые пересекаются в точке О. По условию, ОМ = ON и MF = КЭ.
Так как высоты перпендикулярны к соответствующим сторонам треугольника, то ОМ и ON являются высотами, опущенными из вершин M и N соответственно. Аналогично, КЭ являются высотами, опущенными из вершин K и N соответственно.
Таким образом, мы имеем четыре прямоугольных треугольника: МОЕ, МКО, НОF и НКЕ.
Рассмотрим треугольник МКО. Он прямоугольный, так как МО и КЭ являются высотами, а значит, угол МКО прямой. Также, ОМ = ON по условию. Значит, треугольник МКО является прямоугольным и равнобедренным, то есть МК = КО.
Аналогично, рассмотрим треугольник НКЕ. Он также прямоугольный, так как НО и КЭ являются высотами, а значит, угол НКЕ прямой. Также, MF = КЭ по условию. Значит, треугольник НКЕ является прямоугольным и равнобедренным, то есть НК = КЕ.
Теперь рассмотрим треугольник МНО. Он также прямоугольный, так как ОМ и ON являются высотами, а значит, угол МНО прямой. Также, МК = КО и НК = КЕ по доказанному выше. Значит, треугольник МНО является прямоугольным и равнобедренным, то есть МН = НО.
Таким образом, мы доказали, что все стороны треугольника MKN равны между собой, то есть треугольник MKN является равносторонним.
