Вопрос школьника
Высоты треугольников, на которые разделяет данный прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла, равны 8 и 15. Найдите:
а) высоту данного треугольника;
б) стороны данного треугольника.
Ответ от учителя
Для начала, вспомним свойства высот треугольника. Высота, проведенная из вершины прямого угла, является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного этой высотой и катетами, соответствующими оставшимся двум сторонам исходного треугольника. Таким образом, мы можем составить систему уравнений:
$begin{cases} a^2 + h^2 = 15^2 \ b^2 + h^2 = 8^2 \ a^2 + b^2 = c^2 end{cases}$
где $a$ и $b$ — катеты исходного треугольника, $c$ — его гипотенуза, $h$ — высота, проведенная из вершины прямого угла.
Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения получаем $b^2 = 8^2 — h^2$, подставляем в третье уравнение:
$a^2 + (8^2 — h^2) = c^2$
$a^2 + h^2 = 15^2$
Складываем эти уравнения и получаем:
$2a^2 + 64 = c^2 + 225$
$2a^2 — c^2 = -161$
Аналогично, из первого уравнения получаем $a^2 = 15^2 — h^2$, подставляем в третье уравнение:
$(15^2 — h^2) + b^2 = c^2$
$225 — h^2 + 8^2 — h^2 = c^2$
$2h^2 — c^2 = -49$
Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
$2a^2 — c^2 = -161$
$2h^2 — c^2 = -49$
Вычитаем второе уравнение из первого и получаем:
$2a^2 — 2h^2 = -112$
$a^2 — h^2 = -56$
$a^2 = h^2 — 56$
Теперь подставляем это выражение в первое уравнение системы:
$(h^2 — 56) + h^2 = 225$
$2h^2 = 281$
$h^2 = frac{281}{2}$
$h = sqrt{frac{281}{2}}$
$h approx 11.83$
Таким образом, высота исходного треугольника равна примерно 11.83.
Чтобы найти стороны треугольника, подставляем найденное значение высоты в любое из уравнений системы:
$a^2 + h^2 = 15^2$
$a^2 + frac{281}{2} = 225$
$a^2 = frac{119}{2}$
$a = sqrt{frac{119}{2}}$
$a approx 7.72$
Теперь можем найти вторую сторону:
$b^2 + h^2 = 8^2$
$b^2 + frac{281}{2} = 64$
$b^2 = frac{23}{2}$
$b = sqrt{frac{23}{2}}$
$b approx 3.81$
Таким образом, стороны исходного треугольника равны примерно 7.72 и 3.81.
