Вопрос школьника
Выясните, разлагается ли на линейные множители квадратный трёхчлен: а) х2 — 4х + 3; б) х2 — 4х + 4; в) х2 — 4х + 5; г) Зх2 — 4х + 1; д) 5х2 — 6х + 1; е) 4х2 + 4х + 2.
Ответ от учителя
Для того чтобы выяснить, разлагается ли квадратный трехчлен на линейные множители, нужно найти его корни. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b2 — 4ac,
где a, b, c — коэффициенты квадратного трехчлена ax2 + bx + c.
Если дискриминант D > 0, то у квадратного трехчлена два различных корня, и он разлагается на линейные множители вида (x — x1)(x — x2), где x1 и x2 — корни.
Если D = 0, то у квадратного трехчлена есть один корень кратности 2, и он разлагается на линейные множители вида (x — x1)2, где x1 — корень.
Если D < 0, то у квадратного трехчлена нет действительных корней, и он не разлагается на линейные множители. а) х2 - 4х + 3: D = (-4)2 - 4*1*3 = 4 > 0, значит, квадратный трехчлен разлагается на линейные множители:
x2 — 4x + 3 = (x — 1)(x — 3).
б) х2 — 4х + 4:
D = (-4)2 — 4*1*4 = 0, значит, квадратный трехчлен разлагается на линейные множители:
x2 — 4x + 4 = (x — 2)2.
в) х2 — 4х + 5:
D = (-4)2 — 4*1*5 = -4 < 0, значит, квадратный трехчлен не разлагается на линейные множители. г) Зх2 - 4х + 1: D = (-4)2 - 4*3*1 = 4 > 0, значит, квадратный трехчлен разлагается на линейные множители:
3×2 — 4x + 1 = (3x — 1)(x — 1).
д) 5х2 — 6х + 1:
D = (-6)2 — 4*5*1 = 4 > 0, значит, квадратный трехчлен разлагается на линейные множители:
5×2 — 6x + 1 = (5x — 1)(x — 1).
е) 4х2 + 4х + 2:
Данный квадратный трехчлен не разлагается на линейные множители, так как его дискриминант D < 0.
