Вопрос школьника
Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6
Ответ от учителя
Для определения типа треугольника по его сторонам необходимо применить теорему косинусов, которая гласит:
$a^2 = b^2 + c^2 — 2bccosalpha$
где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $alpha$ — угол между сторонами $b$ и $c$.
а) Для треугольника со сторонами 5, 4 и 4:
$5^2 = 4^2 + 4^2 — 2cdot4cdot4cosalpha$
$25 = 16 + 16 — 32cosalpha$
$32cosalpha = 7$
$cosalpha = frac{7}{32}$
Так как $cosalpha$ положительный, то угол $alpha$ острый. Следовательно, треугольник является остроугольным.
б) Для треугольника со сторонами 17, 8 и 15:
$17^2 = 8^2 + 15^2 — 2cdot8cdot15cosalpha$
$289 = 64 + 225 — 240cosalpha$
$240cosalpha = 0$
$cosalpha = 0$
Так как $cosalpha$ равен нулю, то угол $alpha$ прямой. Следовательно, треугольник является прямоугольным.
в) Для треугольника со сторонами 9, 5 и 6:
$9^2 = 5^2 + 6^2 — 2cdot5cdot6cosalpha$
$81 = 25 + 36 — 60cosalpha$
$60cosalpha = -20$
$cosalpha = -frac{1}{3}$
Так как $cosalpha$ отрицательный, то угол $alpha$ тупой. Следовательно, треугольник является тупоугольным.
