Вопрос школьника
Взаимно перпендикулярные отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, при этом АО = 1/4OB , OD = 4ОС. Вычислите градусную меру угла АСО, если угол DBO = 37°.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что треугольники АОВ и СОD подобны друг другу, так как углы при вершине О равны (по свойству перпендикулярных прямых) и соответствующие стороны пропорциональны:
$$frac{AO}{OB}=frac{1}{4} Rightarrow frac{AO}{OV}=frac{1}{5}$$
$$frac{OD}{OC}=4 Rightarrow frac{OD}{OD+DC}=frac{4}{5} Rightarrow frac{OD}{OD+OD/4}=frac{4}{5} Rightarrow frac{OD}{5OD/4}=frac{4}{5} Rightarrow frac{OD}{OC}=frac{16}{25}$$
Таким образом, мы получили, что:
$$frac{AO}{OV}=frac{1}{5}=frac{AS}{SC}=frac{AO+OS}{OD+DC}=frac{AO+OS}{OD+OD/4}=frac{AO+OS}{5OD/4}$$
Отсюда следует, что:
$$AO+OS=frac{AO}{5}cdotfrac{5OD}{4}=frac{OD}{4}$$
$$OS=frac{OD}{4}-AO=frac{OD}{4}-frac{AO}{OV}cdot OS=frac{OD}{4}-frac{OD}{20}=frac{OD}{5}$$
Теперь мы можем вычислить синус угла АСО:
$$sinangle ASO=frac{OS}{AS}=frac{OD/5}{AO+OD/5}=frac{OD/5}{OD/4}=frac{4}{5}$$
Так как угол DBO равен 37°, то угол ABO равен 90°-37°=53°. Также заметим, что угол АОС равен 90°, так как АВ и CD перпендикулярны. Тогда угол АСО равен:
$$angle ASO=180°-angle AOB-angle BOD-angle ABO=180°-90°-90°-53°=47°$$
Таким образом, градусная мера угла АСО равна 47°.
