Вопрос школьника
Яке найменше число при діленні на 2 дає остачу 1, при діленні на 3 —
остачу 2, при діленні на 4 — остачу 3, при діленні на 5 — остачу 4, при
діленні на 6 — остачу 5 і ділиться на 7?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи можно использовать метод китайской теоремы об остатках.
Пусть искомое число равно x. Тогда по условию задачи:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 4)
x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 5 (mod 6)
x ≡ 0 (mod 7)
Заметим, что 2, 3, 4 и 6 являются взаимно простыми между собой, поэтому можно применить метод китайской теоремы об остатках для этих четырех уравнений:
x ≡ 11 (mod 12)
Теперь осталось решить двойную систему уравнений:
x ≡ 11 (mod 12)
x ≡ 0 (mod 7)
Для этого можно воспользоваться методом подбора. Найдем все числа, которые удовлетворяют первому уравнению:
11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119, 131, 143, …
Из них выберем те, которые делятся на 7:
35, 119, 203, …
Таким образом, искомое число равно 119.
Ответ: 119.
