Вопрос школьника
З вершини тупого кута паралелограма на його сторони опущено
перпендикуляри завдовжки 5 см і 8 см. Знайдіть сторони
паралелограма, якщо його периметр дорівнює 78 см.
Ответ от учителя
Пусть паралелограм имеет стороны a и b. Так как из вершины тупого угла опущены перпендикуляры длиной 5 см и 8 см, то можно нарисовать следующую схему:
«`
/|
/ |
5/ | 8
/ |
/____|____
a
«`
Заметим, что эти перпендикуляры делят сторону a на три отрезка, длины которых обозначим через x, y и z:
«`
/|
/ |
5/ | 8
/ x | y
/____|____
z
«`
Тогда по теореме Пифагора для треугольников, образованных перпендикулярами и сторонами паралелограмма, имеем:
x^2 + 5^2 = b^2
y^2 + 8^2 = b^2
z^2 + (5+8)^2 = a^2
Также из условия задачи известно, что периметр паралелограмма равен 78 см:
2a + 2b = 78
Выразим из последнего уравнения одну из переменных, например, a:
a = 39 — b
Подставим это выражение в третье уравнение и приведем его к виду:
z^2 + 169 = (39-b)^2
z^2 + 169 = 1521 — 78b + b^2
b^2 — 78b + 1352 = z^2
Теперь можно решить систему уравнений, состоящую из последних трех уравнений:
x^2 + 25 = b^2
y^2 + 64 = b^2
b^2 — 78b + 1352 = z^2
Сложим первые два уравнения и выразим b:
x^2 + y^2 + 89 = 2b^2
b^2 = (x^2 + y^2 + 89)/2
Подставим это выражение для b в третье уравнение:
(x^2 + y^2 + 89)/2 — 78(x^2 + y^2 + 89)/2 + 1352 = z^2
(67x^2 + 67y^2 — 1263)/2 = z^2
67x^2 + 67y^2 — 1263 = 2z^2
Заметим, что левая часть последнего уравнения делится на 67, поэтому и правая часть должна делиться на 67. То есть:
2z^2 = 67k, где k — целое число
Так как 67 — простое число, то 2z^2 должно делиться на 67, а значит, z^2 должно делиться на 67. Пусть z^2 = 67m, где m — целое число. Тогда:
67x^2 + 67y^2 — 1263 = 2z^2 = 134m
67x^2 + 67y^2 = 134m + 1263
x^2 + y^2 = 2m + 19
Таким образом, мы получили уравнение, связывающее длины отрезков x и y. Заметим, что x и y должны быть целыми числами, так как являются длинами отрезков, а значит, x^2 + y^2 должно быть нечетным числом (19 — нечетное). Попробуем перебрать возможные значения x и y, начиная с наименьших:
x = 1, y = 3 -> x^2 + y^2 = 10
x = 1, y = 5 -> x^2 + y^2 = 26
x = 1, y = 7 -> x^2 + y^2 = 50
x = 1, y = 9 -> x^2 + y^2 = 82
x = 3, y = 5 -> x^2 + y^2 = 34
x = 3, y = 7 -> x^2 + y^2 = 58
x = 3, y = 9 -> x^2 + y^2 = 90
x = 5, y = 7 -> x^2 + y^2 = 74
x = 5, y = 9 -> x^2 + y^2 = 106
x = 7, y = 9 -> x^2 + y^2 = 130
Единственная пара, удовлетворяющая условию нечетности, это x = 1, y = 3. Тогда:
x^2 + 25 = b^2 -> b = 6
y^2 + 64 = b^2 -> b = 5 (невозможно)
b^2 — 78b + 1352 = z^2 -> z = 13
Таким образом, получаем, что стороны паралелограмма равны a = 33, b = 6. Проверим, что это действительно решение:
2a + 2b = 2*33 + 2*6 = 78
Также можно проверить, что длины перпендикуляров действительно соответствуют заданным значениям:
x = 1, y = 3, z = 13
x + y + z = 1 + 3 + 13 = 17
5 + 8 = 13
Ответ: стороны паралелограмма равны 33 и 6 см.
