Вопрос школьника
За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик.
Ответ от учителя
Всего возможных способов рассадки 201 человек за круглым столом равно (201-1)! (так как мы можем выбрать любого человека в качестве первого, а затем остальных рассадить относительно него в порядке, определяемом направлением обхода стола).
Теперь рассмотрим, какие условия должны быть выполнены, чтобы между двумя девочками сидел один мальчик. Представим, что девочки заняли два соседних стула. Тогда между ними должен сидеть один мальчик, а на оставшиеся 198 стульев должны рассадиться оставшиеся 197 мальчиков.
Рассмотрим два случая:
1) Мальчик сидит слева от девочек. Тогда мальчик может занять любой из 198 стульев, кроме двух соседних стульев, занятых девочками. Всего таких вариантов рассадки мальчика и девочек равно 2*198! (мы можем выбрать любого из двух стульев для первой девочки, а затем рассадить мальчика и оставшихся мальчиков на оставшихся стульях).
2) Мальчик сидит справа от девочек. Аналогично, мальчик может занять любой из 198 стульев, кроме двух соседних стульев, занятых девочками. Всего таких вариантов рассадки мальчика и девочек также равно 2*198!.
Таким образом, всего возможных вариантов рассадки, удовлетворяющих условию, равно 2*198!.
Итак, вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик, равна:
P = (2*198!)/((201-1)!) = (2*198!)/200! = 2/200 = 1/100.
Ответ: вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик, равна 1/100.
