Вопрос школьника
Замкнутый цикл состоит из изотермы (Т1 = 600 оК) изобары и изохоры. Отношение V2/V1 = 2. В качестве рабочего вещества используется идеальный газ, молекулы которого имеют i = 5 степеней свободы. Определить КПД цикла как функцию минимальной и максимальной температур рабочего вещества.
Ответ от учителя
Для определения КПД цикла необходимо найти работу, совершаемую газом в цикле, и теплоту, получаемую газом от источников тепла. Затем КПД можно вычислить по формуле:
η = W/Q1
где W — работа, совершаемая газом в цикле, Q1 — теплота, получаемая газом от источников тепла.
Для начала найдем работу, совершаемую газом в цикле. Для этого воспользуемся первым законом термодинамики:
dU = dQ — dW
где dU — изменение внутренней энергии газа, dQ — теплота, получаемая газом от источников тепла, dW — работа, совершаемая газом.
Так как цикл замкнутый, то изменение внутренней энергии газа равно нулю:
dU = 0
Также, так как цикл состоит из изотермы, изобары и изохоры, то можно записать:
dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3
где dQ1 — теплота, получаемая газом на изотерме, dQ2 — теплота, получаемая газом на изобаре, dQ3 — теплота, получаемая газом на изохоре.
Теперь найдем каждую из этих теплот.
1. Теплота, получаемая газом на изотерме:
dQ1 = nCv(T2 — T1)
где n — количество вещества газа, Cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме, T2 — температура на изотерме, T1 — начальная температура.
Так как цикл замкнутый, то конечная температура на изотерме равна начальной:
T2 = T1
Тогда:
dQ1 = 0
2. Теплота, получаемая газом на изобаре:
dQ2 = nCp(T3 — T2)
где Cp — удельная теплоемкость при постоянном давлении, T3 — температура на изобаре.
Так как на изобаре давление постоянно, то можно записать:
V2/V1 = T2/T3
Отсюда:
T3 = T2/(V2/V1)
Тогда:
dQ2 = nCp(T2/(V2/V1) — T2)
3. Теплота, получаемая газом на изохоре:
dQ3 = 0
Теперь найдем работу, совершаемую газом в цикле. Для этого воспользуемся формулой для работы при изотермическом расширении и сжатии:
dW = nRTln(V2/V1)
где R — универсальная газовая постоянная, T — температура на изотерме.
Тогда:
dW = nRT1ln(2)
Теперь можно вычислить КПД цикла:
η = W/Q1 = nRT1ln(2)/(nCp(T2/(V2/V1) — T2))
Сокращая n, получаем:
η = RT1ln(2)/(Cp(T2/(V2/V1) — T2))
Таким образом, КПД цикла является функцией минимальной и максимальной температур рабочего вещества T1 и T3 (или T2).
