Вопрос школьника
Записали одну за другой четыре последовательные цифры, затем первые две поменяли местами. Полученное таким образом четырёхзначное число является квадратом натурального числа. Найдите это число.
Ответ от учителя
Пусть исходные четыре цифры были $abcd$, тогда после перестановки первых двух цифр получим число $bacd$. Это число можно записать как $1000b + 100a + 10c + d$. Так как это число является квадратом натурального числа, то оно должно быть вида $k^2$, где $k$ — натуральное число. Тогда имеем уравнение:
$$1000b + 100a + 10c + d = k^2$$
Заметим, что $k^2$ заканчивается на ту же цифру, что и $d$. Значит, $d$ может быть только одной из цифр 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Попробуем перебрать эти варианты.
1. Если $d=0$, то $k^2$ должно заканчиваться на 0, то есть $k$ должно быть кратно 10. Пусть $k=10m$, тогда уравнение принимает вид:
$$1000b + 100a + 10c = 100m^2$$
Делим обе части на 10 и получаем:
$$100b + 10a + c = 10m^2$$
Заметим, что левая часть этого уравнения является остатком от деления исходного числа на 10. Значит, $c$ должно быть четным. Но тогда правая часть уравнения будет кратна 4, а значит, и левая часть должна быть кратна 4. Но это возможно только если $b$ четно. Таким образом, $b$ и $c$ должны быть четными. Попробуем перебрать все возможные значения $b$ и $c$:
— $b=0$, $c=0$. Тогда $10a=10m^2$, откуда $a=m^2$. Значит, исходное число равно $a^2bc$, то есть $a^2cdot 100$.
— $b=0$, $c=2$. Тогда $10a+2=10m^2$, откуда $5a+m^2=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2=5n^2$, откуда $a=4n^2$. Значит, исходное число равно $4n^2cdot 1002$.
— $b=0$, $c=4$. Тогда $10a+4=10m^2$, откуда $5a+2m^2=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2=2n^2$, что невозможно.
— $b=0$, $c=6$. Тогда $10a+6=10m^2$, откуда $5a+3m^2=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2=3n^2$, что невозможно.
— $b=0$, $c=8$. Тогда $10a+8=10m^2$, откуда $5a+4m^2=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2=4n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=0$. Тогда $100a+20=100m^2$, откуда $5a+2m^2=25m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+10n^2=5n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=2$. Тогда $100a+22=100m^2$, откуда $25a+11m^2=25m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+11n^2=5n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=4$. Тогда $100a+24=100m^2$, откуда $25a+6m^2=25m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+6n^2=5n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=6$. Тогда $100a+26=100m^2$, откуда $25a+13m^2=25m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+13n^2=5n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=8$. Тогда $100a+28=100m^2$, откуда $25a+14m^2=25m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+14n^2=5n^2$, что невозможно.
Таким образом, вариант $d=0$ не подходит.
2. Если $d=1$, то $k^2$ должно заканчиваться на 1, то есть $k$ должно быть вида $10m+1$. Пусть $k=10m+1$, тогда уравнение принимает вид:
$$1000b + 100a + 10c + 1 = 100m^2 + 20m + 1$$
Делим обе части на 10 и получаем:
$$100b + 10a + c = 10m^2 + 2m$$
Заметим, что левая часть этого уравнения является остатком от деления исходного числа на 10. Значит, $c$ должно быть четным. Но тогда правая часть уравнения будет кратна 4, а значит, и левая часть должна быть кратна 4. Но это возможно только если $b$ четно. Таким образом, $b$ и $c$ должны быть четными. Попробуем перебрать все возможные значения $b$ и $c$:
— $b=0$, $c=0$. Тогда $10a=10m^2+2m$, откуда $a=m^2+2m$. Значит, исходное число равно $a^2bc$, то есть $(m^2+2m)^2cdot 100$.
— $b=0$, $c=2$. Тогда $10a+2=10m^2+2m$, откуда $5a+m^2+m=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2+n=5n^2$, что невозможно.
— $b=0$, $c=4$. Тогда $10a+4=10m^2+2m$, откуда $5a+2m^2+m=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+2n^2+n=2n^2$, что невозможно.
— $b=0$, $c=6$. Тогда $10a+6=10m^2+2m$, откуда $5a+3m^2+m=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+3n^2+n=3n^2$, что невозможно.
— $b=0$, $c=8$. Тогда $10a+8=10m^2+2m$, откуда $5a+4m^2+m=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+4n^2+n=4n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=0$. Тогда $100a+20=100m^2+20m+1$, откуда $25a+5m^2+m=25m^2+5m$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2+n=5n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=2$. Тогда $100a+22=100m^2+20m+1$, откуда $25a+5m^2+5m+1=25m^2+5m+1$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2+n=5n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=4$. Тогда $100a+24=100m^2+20m+1$, откуда $25a+5m^2+10m+1=25m^2+5m+1$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2+2n=5n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=6$. Тогда $100a+26=100m^2+20m+1$, откуда $25a+5m^2+15m+1=25m^2+5m+1$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2+3n=5n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=8$. Тогда $100a+28=100m^2+20m+1$, откуда $25a+5m^2+20m+1=25m^2+5m+1$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2+4n=5n^2$, что невозможно.
Таким образом, вариант $d=1$ не подходит.
3. Если $d=4$, то $k^2$ должно заканчиваться на 4, то есть $k$ должно быть вида $10m+2$. Пусть $k=10m+2$, тогда уравнение принимает вид:
$$1000b + 100a + 10c + 4 = 100m^2 + 40m + 4$$
Делим обе части на 10 и получаем:
$$100b + 10a + c = 10m^2 + 4m$$
Заметим, что левая часть этого уравнения является остатком от деления исходного числа на 10. Значит, $c$ должно быть четным. Но тогда правая часть уравнения будет кратна 4, а значит, и левая часть должна быть кратна 4. Но это возможно только если $b$ четно. Таким образом, $b$ и $c$ должны быть четными. Попробуем перебрать все возможные значения $b$ и $c$:
— $b=0$, $c=0$. Тогда $10a=10m^2+4m$, откуда $a=m^2+4m$. Значит, исходное число равно $a^2bc$, то есть $(m^2+4m)^2cdot 100$.
— $b=0$, $c=2$. Тогда $10a+2=10m^2+4m$, откуда $5a+2m^2+2m=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+2n^2+2n=5n^2$, что невозможно.
— $b=0$, $c=4$. Тогда $10a+4=10m^2+4m$, откуда $5a+m^2+m=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+n^2+n=5n^2$, что невозможно.
— $b=0$, $c=6$. Тогда $10a+6=10m^2+4m$, откуда $5a+3m^2+2m=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+3n^2+n=3n^2$, что невозможно.
— $b=0$, $c=8$. Тогда $10a+8=10m^2+4m$, откуда $5a+4m^2+2m=5m^2$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+4n^2+n=4n^2$, что невозможно.
— $b=2$, $c=0$. Тогда $100a+20=100m^2+40m+4$, откуда $25a+5m^2+5m+1=25m^2+10m+1$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+n^2+n=5n^2-2n$, откуда $a=4n^2-3n$. Значит, исходное число равно $(4n^2-3n)^2cdot 200$.
— $b=2$, $c=2$. Тогда $100a+22=100m^2+40m+4$, откуда $25a+5m^2+10m+2=25m^2+10m+1$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2+2n=5n^2-1$, откуда $a=4n^2-3n-1$. Значит, исходное число равно $(4n^2-3n-1)^2cdot 200$.
— $b=2$, $c=4$. Тогда $100a+24=100m^2+40m+4$, откуда $25a+5m^2+15m+2=25m^2+10m+1$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2+3n=5n^2-1$, откуда $a=4n^2-3n-1$. Значит, исходное число равно $(4n^2-3n-1)^2cdot 200$.
— $b=2$, $c=6$. Тогда $100a+26=100m^2+40m+4$, откуда $25a+5m^2+20m+2=25m^2+10m+1$. Значит, $m$ должно быть кратно 5, пусть $m=5n$. Тогда $a+5n^2+4n=5n
