Вопрос школьника
Записать уравнение гармонических колебаний, если известно, что максимальное значение кинетической энергии равно К = 1⋅мкДж, максимальная возвращающая сила Fmax = 1⋅мН, при периоде колебаний Т = 1 с и начальной фазе ϕ0.=π/4.
Ответ от учителя
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:
x(t) = A*cos(ωt + ϕ)
где x(t) — смещение от положения равновесия в момент времени t, A — амплитуда колебаний, ω — угловая частота колебаний, ϕ — начальная фаза колебаний.
Максимальное значение кинетической энергии K достигается в точке максимального смещения от положения равновесия, т.е. при x = A. Тогда:
K = (1/2)*m*v^2 = (1/2)*k*A^2
где m — масса колеблющегося тела, v — скорость тела в точке максимального смещения, k — коэффициент жесткости пружины.
Максимальная возвращающая сила Fmax соответствует максимальному смещению от положения равновесия, т.е. при x = A. Тогда:
Fmax = k*A
Период колебаний T связан с угловой частотой ω следующим образом:
T = 2π/ω
Начальная фаза колебаний ϕ0 задана.
Из уравнения для максимальной возвращающей силы Fmax можно выразить коэффициент жесткости пружины:
k = Fmax/A
Подставляя это выражение в уравнение для максимальной кинетической энергии K, получаем:
K = (1/2)*m*v^2 = (1/2)*(Fmax/A)*A^2 = (1/2)*Fmax*A
Отсюда находим амплитуду колебаний A:
A = sqrt(2*K/Fmax)
Подставляя значения K, Fmax и T, находим угловую частоту ω:
ω = 2π/T = 2π
Наконец, подставляя найденные значения A, ω и ϕ0 в уравнение гармонических колебаний, получаем:
x(t) = sqrt(2*K/Fmax)*cos(2πt + π/4)
