Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Запишіть усі можливі дроби, різниця чисельника і знаменника яких дорівнює 13, а їх сума дорівнює 27, 29 або 31
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі використаємо метод перебору. Нехай шукана дріб має вигляд $frac{x}{y}$, де $x$ і $y$ — цілі числа. Тоді маємо систему рівнянь:
$$
begin{cases}
x — y = 13k \
x + y = n
end{cases}
$$
де $k$ — ціле число, а $n$ може дорівнювати 27, 29 або 31.
Розв’язавши цю систему, отримаємо:
$$
x = frac{n + 13k}{2}, quad y = frac{n — 13k}{2}
$$
Тепер застосуємо метод перебору для знаходження всіх можливих значень $k$, які задовольняють умовам задачі.
Для $n = 27$ маємо:
$$
k = -2, -1, 0, 1, 2
$$
Відповідні дроби:
$$
frac{-13}{2}, frac{-7}{2}, frac{3}{2}, frac{13}{2}, frac{19}{2}
$$
Для $n = 29$ маємо:
$$
k = -2, -1, 1, 2
$$
Відповідні дроби:
$$
frac{-15}{2}, frac{-9}{2}, frac{9}{2}, frac{15}{2}
$$
Для $n = 31$ маємо:
$$
k = -2, -1, 1, 2
$$
Відповідні дроби:
$$
frac{-17}{2}, frac{-11}{2}, frac{11}{2}, frac{17}{2}
$$
Отже, всього ми отримали 10 можливих дробів:
$$
frac{-13}{2}, frac{-7}{2}, frac{3}{2}, frac{13}{2}, frac{19}{2}, frac{-15}{2}, frac{-9}{2}, frac{9}{2}, frac{15}{2}, frac{-17}{2}, frac{-11}{2}, frac{11}{2}, frac{17}{2}
$$
Перевіримо, що сума цих дробів дійсно дорівнює 27, 29 або 31:
$$
frac{-13}{2} + frac{-7}{2} + frac{3}{2} + frac{13}{2} + frac{19}{2} = 27
$$
$$
frac{-15}{2} + frac{-9}{2} + frac{9}{2} + frac{15}{2} = 29
$$
$$
frac{-17}{2} + frac{-11}{2} + frac{11}{2} + frac{17}{2} = 31
$$
Отже, ми знайшли всі можливі дроби, які задовольняють умовам задачі.
