Вопрос школьника
Запишите координаты точек, находящихся на расстоянии:
1) 2 ед. от точки А (6) 3) 3 ед. от точки С (2)
2) 4 ед. от точки В (9); 4) 5 ед. от точки N (12).
Ответ от учителя
1) Чтобы найти координаты точек, находящихся на расстоянии 2 ед. от точки А (6), нужно построить окружность с центром в точке А и радиусом 2 ед. Точки пересечения этой окружности с координатной плоскостью будут искомыми точками.
Для начала найдем уравнение окружности с центром в точке А и радиусом 2 ед. Это уравнение имеет вид:
(x — 6)^2 + (y — 3)^2 = 2^2
Раскроем скобки:
x^2 — 12x + 36 + y^2 — 6y + 9 = 4
x^2 — 12x + y^2 — 6y + 41 = 0
Теперь найдем точки пересечения этой окружности с координатной плоскостью. Для этого подставим y = 0 в уравнение окружности и решим полученное квадратное уравнение относительно x:
x^2 — 12x + 41 = 0
D = b^2 — 4ac = 144 — 4*1*41 = -52
Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней, то есть окружность не пересекает ось x.
Теперь подставим x = 0 в уравнение окружности и решим полученное квадратное уравнение относительно y:
y^2 — 6y + 77 = 0
D = b^2 — 4ac = 36 — 4*1*77 = -268
Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней, то есть окружность не пересекает ось y.
Значит, на расстоянии 2 ед. от точки А (6) нет точек на координатной плоскости.
2) Чтобы найти координаты точек, находящихся на расстоянии 4 ед. от точки В (9), нужно построить окружность с центром в точке В и радиусом 4 ед. Точки пересечения этой окружности с координатной плоскостью будут искомыми точками.
Для начала найдем уравнение окружности с центром в точке В и радиусом 4 ед. Это уравнение имеет вид:
(x — 9)^2 + y^2 = 4^2
Раскроем скобки:
x^2 — 18x + 81 + y^2 = 16
x^2 — 18x + y^2 — 65 = 0
Теперь найдем точки пересечения этой окружности с координатной плоскостью. Для этого подставим y = 0 в уравнение окружности и решим полученное квадратное уравнение относительно x:
x^2 — 18x — 49 = 0
D = b^2 — 4ac = 324 + 196 = 520
x1 = (18 + sqrt(520))/2 ≈ 14.8
x2 = (18 — sqrt(520))/2 ≈ 3.2
Таким образом, точки на расстоянии 4 ед. от точки В (9) имеют координаты (14.8, 0) и (3.2, 0).
3) Чтобы найти координаты точек, находящихся на расстоянии 3 ед. от точки С (2), нужно построить окружность с центром в точке С и радиусом 3 ед. Точки пересечения этой окружности с координатной плоскостью будут искомыми точками.
Для начала найдем уравнение окружности с центром в точке С и радиусом 3 ед. Это уравнение имеет вид:
(x — 2)^2 + y^2 = 3^2
Раскроем скобки:
x^2 — 4x + 4 + y^2 = 9
x^2 — 4x + y^2 — 5 = 0
Теперь найдем точки пересечения этой окружности с координатной плоскостью. Для этого подставим y = 0 в уравнение окружности и решим полученное квадратное уравнение относительно x:
x^2 — 4x — 1 = 0
D = b^2 — 4ac = 16 + 4 = 20
x1 = (4 + sqrt(20))/2 ≈ 3.2
x2 = (4 — sqrt(20))/2 ≈ 0.8
Таким образом, точки на расстоянии 3 ед. от точки С (2) имеют координаты (3.2, 0) и (0.8, 0).
4) Чтобы найти координаты точек, находящихся на расстоянии 5 ед. от точки N (12), нужно построить окружность с центром в точке N и радиусом 5 ед. Точки пересечения этой окружности с координатной плоскостью будут искомыми точками.
Для начала найдем уравнение окружности с центром в точке N и радиусом 5 ед. Это уравнение имеет вид:
(x — 12)^2 + y^2 = 5^2
Раскроем скобки:
x^2 — 24x + 144 + y^2 = 25
x^2 — 24x + y^2 — 119 = 0
Теперь найдем точки пересечения этой окружности с координатной плоскостью. Для этого подставим y = 0 в уравнение окружности и решим полученное квадратное уравнение относительно x:
x^2 — 24x — 94 = 0
D = b^2 — 4ac = 576 + 376 = 952
x1 = (24 + sqrt(952))/2 ≈ 28.7
x2 = (24 — sqrt(952))/2 ≈ -4.7
Таким образом, точки на расстоянии 5 ед. от точки N (12) имеют координаты (28.7, 0) и (-4.7, 0).
