Вопрос школьника
Запишите в порядке возрастания следующие величины: площадь круга радиусом 1, площади правильных шести- и двенадцатиугольников, вписанных и описанных по отношению к этому кругу.
Ответ от учителя
Для начала, найдем радиусы вписанных и описанных окружностей шести- и двенадцатиугольников, используя формулы:
Радиус вписанной окружности правильного n-угольника: r = a/(2*tan(π/n)), где a — длина стороны n-угольника.
Радиус описанной окружности правильного n-угольника: R = a/(2*sin(π/n)).
Для шестиугольника:
a = 2r, так как радиус вписанной окружности шестиугольника является половиной стороны правильного треугольника, вписанного в этот шестиугольник.
Таким образом, r = 1/2, R = a/(2*sin(π/6)) = 1.
Для двенадцатиугольника:
a = 2r*sin(π/12), так как радиус вписанной окружности двенадцатиугольника является половиной стороны правильного шестиугольника, вписанного в этот двенадцатиугольник.
Таким образом, r = 1/(2*sin(π/12)), R = a/(2*sin(π/12)) = 1/sin(π/12).
Теперь можем найти площади шести- и двенадцатиугольников:
Площадь правильного n-угольника: S = (na^2)/(4*tan(π/n)).
Для шестиугольника: S = (6*(2r)^2)/(4*tan(π/6)) = 3r^2*sqrt(3) = 3/4*sqrt(3).
Для двенадцатиугольника: S = (12*(2r*sin(π/12))^2)/(4*tan(π/12)) = 6r^2*(2+sqrt(3)) = 3*(2+sqrt(3))/2.
Наконец, найдем площади круга и запишем все в порядке возрастания:
Площадь круга: πr^2 = π/4.
Площади шести- и двенадцатиугольников: 3/4*sqrt(3) < 3*(2+sqrt(3))/2 < 1 < π/4. Таким образом, искомый порядок возрастания: 3/4*sqrt(3), 3*(2+sqrt(3))/2, 1, π/4.
