Вопрос школьника
Заштрихуйте несколько квадратов так, чтобы площадь заштрихованной фигуры составила 2/3 площади прямоугольника. Найдите отношение площади оставшейся части прямоугольника к площади заштрихованной части.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно использовать метод подбора. Представим прямоугольник со сторонами a и b. Его площадь равна S = ab. Нам нужно заштриховать несколько квадратов так, чтобы их площадь составила 2/3 площади прямоугольника. Пусть заштриховано n квадратов со стороной x. Тогда площадь заштрихованной фигуры равна Sn = nx^2, а площадь оставшейся части прямоугольника равна S1 = S — Sn = ab — nx^2.
Нам нужно найти отношение площади оставшейся части прямоугольника к площади заштрихованной части:
S1/Sn = (ab — nx^2)/(nx^2)
Для того чтобы площадь заштрихованной фигуры составила 2/3 площади прямоугольника, должно выполняться условие:
Sn/S = 2/3
nx^2/(ab) = 2/3
nx^2 = 2ab/3
x^2 = 2ab/3n
Теперь мы можем подставить это выражение для x^2 в формулу для отношения площадей:
S1/Sn = (ab — nx^2)/(nx^2) = (ab — 2ab/3)/(2ab/3n) = (n — 2)/2
Таким образом, отношение площади оставшейся части прямоугольника к площади заштрихованной части равно (n — 2)/2. Чтобы найти значение этого отношения, нам нужно подобрать такое значение n, при котором площадь заштрихованной фигуры составит 2/3 площади прямоугольника. Для этого можно использовать выражение для x^2, которое мы получили ранее:
x^2 = 2ab/3n
Так как мы ищем целое число квадратов, то n должно быть делителем 3. Попробуем подобрать значения n:
n = 1: x^2 = 2ab/3, Sn/S = 2/3, S1/Sn = -1/2 (не подходит)
n = 3: x^2 = 2ab/9, Sn/S = 2/3, S1/Sn = 1/2
n = 9: x^2 = 2ab/27, Sn/S = 2/3, S1/Sn = 4/2 = 2 (не подходит)
Таким образом, мы можем заштриховать 3 квадрата со стороной x, чтобы площадь заштрихованной фигуры составила 2/3 площади прямоугольника. Отношение площади оставшейся части прямоугольника к площади заштрихованной части равно 1/2.
